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title: Robust Energy-Efficient Multigroup Multicast Beamforming for Multi-Beam Satellite Communications
tags: [數位波束成型解法, 論文筆記]

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# Robust Energy-Efficient Multigroup Multicast Beamforming for Multi-Beam Satellite Communications



## 論文介紹
這是一篇考慮多組多播的多波束衛星通訊場景下的能量效益 (Energy-Efficient, EE) 波束成型設計論文。首先，他描述了一個最小化波束成型功率並考慮每個組的 EE 下限的問題。這個問題有幾個難處理的地方，包括：
1. Average rate function：有一個期望值的函數，為非凸的函數。
2. EE 為一個非凸的函數。

他們提出的解法為：
1. 先參考一篇論文[1]去近似期望值函數 Average rate function，將其拿到分子與分母。接者討論了通道的統計性質，因此期望值就會對通道這項隨機變數取值，進而拿掉期望值。
2. 接者作者用 Semidefinite Relaxation 轉換問題，最後將問題推導成  difference of convex (DC) programming 的形式，之後便使用 CCCP 方法來求解。

## 方法概述

這便略過系統模型，直接進入第一個問題：

![image](https://hackmd.io/_uploads/BJD1vg51kg.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/ry-Zvlcyye.png)

### 步驟1：拿掉 mimimum function
由於每個群的最小值都要大於一個下限，因此乾脆寫成所有值都要大於一個下限，他們將限制轉換如下：

![image](https://hackmd.io/_uploads/r1XJFg9J1x.png)


### 步驟2：處理期望值

首先，它們參考[1]求解將期望值近似到 log 函數裡面，如圖：

![image](https://hackmd.io/_uploads/H1_G3gc1Je.png)

### 步驟3：Semidefinite Relaxation
作者用 Semidefinite Relaxation 轉換問題，將所有的向量變數變成矩陣變數。但老實說這步感覺沒必要，這步沒有解決任何 convex 的問題，我猜可能是跟他通道的假設有關。總之轉換如下：

![image](https://hackmd.io/_uploads/Hyl0Clqk1l.png)

其中
![image](https://hackmd.io/_uploads/SJl6M1Wckkg.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/HJ0my-qJ1l.png)

(這邊截的比較醜，大家有興趣可以去看原論文)

這個轉換不僅沒用還附帶兩個條件，那就是 $\mathbf{W}_k$ 必須要是半正定矩陣，而且 $\mathbf{W}_k$ 的秩 (rank) 要是 1。但這邊作者說可以先放鬆掉秩要是 1 的條件，等解完如果不是再用其他方法處理。

### 步驟4：推導成 DC 問題

之後這步他們將 log 分母分子拆開，由於這項沒有在 objective function 出現，因此這樣處理很方便，並且直接把這式變成 DC 函式，作法如下：

![image](https://hackmd.io/_uploads/rk_qVbq1Je.png)

後續再代入期望值，可以寫成問題如下：

![image](https://hackmd.io/_uploads/BkdqH-qyJl.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/rydHcGqJJe.png)

### 步驟5：使用 CCCP 

此時只剩下 DC 函數不是凸的，這種整個問題只有凸函數的或 DC 函數的問題可以用 CCCP 來求解 [2]。CCCP 的精神在於將後面那項函數做一階泰勒近似，使其變成一個彷射 (affine) 函數，這樣一個凸函數減一個彷射函數還是凸函數，因此可以近似如下：

![image](https://hackmd.io/_uploads/SkRNiz9kJe.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/S1AHsMqJJg.png)

使用 CCCP 迭代求解便可獲得解。

### 步驟6：使用 Gaussian Randomization

然而，作者說通常秩為 1 的條件並不會滿足，此時得到的解便是次佳解。這時可以用 Gaussian Randomization 的方法來得到最佳解。

作法一開始先將 CCCP 得到的最佳解做特徵值分解

![image](https://hackmd.io/_uploads/Hy6cnG9yyl.png)

接者我們產生 $G$ 個隨機向量 $\mathbf{v}_k$，將其乘上奇異值與特徵向量後會得到一個候選向量

![image](https://hackmd.io/_uploads/rkZfaGqk1e.png)

接著我們為每組向量(原變數)配上一個權重 $p_k$ ，$p_k$ 是我們要求解的新變數。其問題與原問題相同，只是原變數變成常數，並且會配上一個權重變數。可以寫成如下： 

![image](https://hackmd.io/_uploads/HyjJJm5Jye.png)


與上面的問題一樣，我們寫成 DC 問題的形式：

![image](https://hackmd.io/_uploads/HJ4Hkmc1kg.png)

至此再用一階泰勒近似如下：

![image](https://hackmd.io/_uploads/HynSy79J1x.png)


此時便可以用 CCCP 的方法求解

![image](https://hackmd.io/_uploads/B1OUJX5kyl.png)


求出來後便是我們的候選解，而哪組候選解可以最佳化問題，那組候選解便是我們的最佳解。



## 參考
#### [介紹論文] L. Gao, J. Ma, L. You, C. Pan, W. Wang, and X. Gao, “Robust energyefficient multigroup multicast beamforming for multi-beam satellite communications,” in ICC 2020-2020 IEEE International Conference on Communications (ICC). IEEE, 2020, pp. 1–6.
#### [1] M. Shao and W.-K. Ma, “A simple way to approximate average robust multiuser MISO transmit optimization under covariance-based CSIT,” in Proc. IEEE ICASSP, New Orleans, LA, USA, Mar. 2017, pp. 3504–3508.
#### [2] T. Lipp and S. Boyd, “Variations and extension of the convex–concave procedure,” Optimization and Engineering, vol. 17, no. 2, pp. 263–287, 2016.


