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title: MM512-210804 trabajo Símbolos de Cristoffel y ecuaciones de transporte paralelo

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# MM512-210804 trabajo Símbolos de Cristoffel y ecuaciones de transporte paralelo
$\def\RR{\Bbb{R}}$ $\def\RRn{\RR^n}$ $\def\PP{\Bbb{P}}$ $\def\PPn{\PP^n}$ $\def\powm{^{-1}}$ $\def\powb{^{2}}$ $\newcommand\pow{^}$ $\newcommand\sen{\operatorname{sen}}$

Para la variedad
$$
S\pow2:x\pow2+y\pow2+z\pow2=1
$$

Use una parametrización de *una parte* de la superficie:
\begin{align*}
(-\pi,\pi)\times\RR &\to S\pow2\\
(\theta,\phi) &\mapsto (\sen\theta \cos\phi , 
\sen\theta \sen\phi, \cos\theta )
\end{align*}

Aquí $\theta$ se puede llamar la *colatitud* .

1. Use esta parametrización para encontrar el tensor métrico
2. Use el tensor métrico para calcular los símbolos de Cristoffel
3. Escriba las ecuaciones de transporte paralelo usando los símbolos de Cristoffel en general.
4. Escriba las ecuaciones de transporte paralelo usando los símbolos de Cristoffel para este caso.
5. Dado el vector $v_p=((0,1,0),(1,0,0))$ (estos componentes dados en virtud de su inmersión en RR\pow3), encuentre su transporte paralelo según las curvas  
   a. $\alpha:[0,\pi/2]\ni t\mapsto 
   (\cos t, \sen t, 0)$  
   b. $\alpha:[0,\pi/2]\ni t\mapsto 
   (\cos t, 0, \sen t)$  
   *- Verifique visualmente sus resultados

Observen que este trabajo es en parte exploratorio, pero de igual forma se espera que puedan realizar todos los incisos.

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