# Sobre los símbolos de Cristoffel

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$\def\RR{\Bbb{R}}$ $\def\RRn{\RR^n}$
$\def\PP{\Bbb{P}}$ $\def\PPn{\PP^n}$
$\def\powm{^{-1}}$ $\def\powb{^{2}}$
$\def\pow{^}$ $\def\dd{\partial}$
$\newcommand\derp[2]{\frac{\dd#1}{\dd#2}}$

Por definición:
$$
\nabla_{\dd_i}{\dd_j}=\sum_k{\Gamma_{ij}\pow{k}\dd_k}
$$

Esto permite calcular derivadas covariantes. Los símbolos de Cristoffel definen la conexión afín.

$$
\nabla_X Y = \sum_{k}\left\{
\sum_i(x\pow i\dd_i[y\pow k] ) +
\sum_{ij}x\pow i y \pow j \Gamma_{ij}\pow k \right\}\dd_k
$$

donde $X=\sum_k{x\pow k \dd_k}$, $Y=\sum_k{y\pow k \dd_k}$ y $k$ es un índice, no una potencia.

Definamos los siguientes símbolos asociados:

$$
\Gamma_{ijk}=g(\nabla_{\dd_i}{\dd_j},\dd_k)
$$

donde g es la métrica.

## en coordenadas

### ejercicio:

Verificar, usando la propiedad Leibniziana de la derivada direccional de un producto interno $X[g(Y,Z)]$, que

$$
2g(\nabla_{\dd_i}\dd_j,\dd_k)=\derp{g_{jk}}{x_i} + \derp{g_{ki}}{x_j} - \derp{g_{ij}}{x_k}
$$

Prosiga a encontrar una expresión para
$\Gamma_{ijk}$ y para $\Gamma_{ij}\pow{k}$

### Símbolos de Cristoffel en coordenadas

Con una carta de coordenadas, se tiene una relación particular entre los símbolos de Cristoffel (que definen la conexión afín) y el tensor métrico. Esto parte naturalmente del teorema de Levi-Civita, pues una métrica define una única conexión afín Riemanniana.

En resumen, se tiene
$$
2\Gamma_{ij}\pow{k}=\sum_m g\pow{mk}\left(\derp{g_{jm}}{x_i} + \derp{g_{mi}}{x_j} - \derp{g_{ij}}{x_m}\right)
$$

* Es muy buen ejercicio trabajar para calcular estas funciones.
* Para calculos generales, es conveniente tener en cuenta que con estos símbolos los cálculos, aunque tediosos, son realizables.