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title: 'MM524-210804 ejercicios 4 de agosto, Teorema Poincaré-Bendixson'

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# MM524-210804 ejercicios 4 de agosto, Teorema Poincaré-Bendixson

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$\def\RR{\Bbb{R}}$ $\def\RRn{\RR^n}$
$\def\phit{\phi_t}$ $\def\phitx{\phi_t(x)}$
$\def\pow{^}$ $\def\intot{\int_0\pow {t}}$ $\def\dd{\mathrm{d}}$

$\newcommand\derp[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}$
<!-- $ \def\derp#1#2{ \frac{\partial #1}{\partial #2}  } $ -->

Observe que la invariancia de un conjunto para un sistema dinámico **autónomo** depende sólo del comportamiento del campo vectorial en la frontera.

Sean
$$B=\{(x,y)\mid x\pow2 + y\pow2 \le 1\}$$
$$A=\{(x,y)\mid\ 1/4 \le x\pow2 + y\pow2 \le 1\}$$

Para el sistema dinámico

\begin{align*}
x'&=-y\\
y'&=x -y
\end{align*}

1. Verifique que el conjunto $B$ es positivamente invariante

2. Para este conjunto $B$, utilice el teorema de Poincaré-Bendixson para decir algo sobre los equilibrios o ciclos límite que puede contener.

3. Determine si el anillo $A$ es positivamente invariante, negativamente invariante, o ninguno.

Para el sistema dinámico

\begin{align*}
x'&=-y\\
y'&=x -y\pow3
\end{align*}

4. Determine si el conjunto $B$ anterior es positivamente o negativamente invariante.

5. En caso de ser positiva o negativamente invariante, concluya algo sobre la existencia de equilibrios, órbitas cerradas o ciclos límite según el teorema de P-B.

Para el sistema dinámico

\begin{align*}
x'&=-y\\
y'&=x
\end{align*}

6. Determine si $B$ es positiva o negativamente invariante
7. Determine si $A$ es positiva o negativamente invariante
8. En los conjuntos en los que aplique el teorema de P-B, determine las condiciones de los equilibrio, órbitas cerradas y ciclos límite de cada uno.
