MM524-210804 ejercicios 4 de agosto, Teorema Poincaré-Bendixson

# MM524-210804 ejercicios 4 de agosto, Teorema Poincaré-Bendixson <script> MathJax = { tex: { inlineMath: [['$', '$'], ['\$', '\$']] }, svg: { fontCache: 'global' } }; </script> <script type="text/javascript" id="MathJax-script" async src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-svg.js"> </script> $\def\RR{\Bbb{R}}$ $\def\RRn{\RR^n}$ $\def\phit{\phi_t}$ $\def\phitx{\phi_t(x)}$ $\def\pow{^}$ $\def\intot{\int_0\pow {t}}$ $\def\dd{\mathrm{d}}$ $\newcommand\derp[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}$  Observe que la invariancia de un conjunto para un sistema dinámico **autónomo** depende sólo del comportamiento del campo vectorial en la frontera. Sean $$B=\{(x,y)\mid x\pow2 + y\pow2 \le 1\}$$ $$A=\{(x,y)\mid\ 1/4 \le x\pow2 + y\pow2 \le 1\}$$ Para el sistema dinámico \begin{align*} x'&=-y\\ y'&=x -y \end{align*} 1. Verifique que el conjunto $B$ es positivamente invariante 2. Para este conjunto $B$, utilice el teorema de Poincaré-Bendixson para decir algo sobre los equilibrios o ciclos límite que puede contener. 3. Determine si el anillo $A$ es positivamente invariante, negativamente invariante, o ninguno. Para el sistema dinámico \begin{align*} x'&=-y\\ y'&=x -y\pow3 \end{align*} 4. Determine si el conjunto $B$ anterior es positivamente o negativamente invariante. 5. En caso de ser positiva o negativamente invariante, concluya algo sobre la existencia de equilibrios, órbitas cerradas o ciclos límite según el teorema de P-B. Para el sistema dinámico \begin{align*} x'&=-y\\ y'&=x \end{align*} 6. Determine si $B$ es positiva o negativamente invariante 7. Determine si $A$ es positiva o negativamente invariante 8. En los conjuntos en los que aplique el teorema de P-B, determine las condiciones de los equilibrio, órbitas cerradas y ciclos límite de cada uno.