MM524 Conjuntos límite

# conjuntos $\alpha$ y $\omega$ límite --- Como platicamos anteriormente, y para su referencia, tenemos esta proposición, la que platicamos de forma intuitiva: 1. Si dos puntos están en la misma órbita, entonces sus alfa límite coinciden y sus omega límite coinciden. 2. La cerradura de un conjunto positivamente invariante contiene los omega límite de sus elementos. Análogamente pasa para alfa límites. --- Estos resultados están en una proposición en el texto, aunque de una manera un poco distinta, pero es lo mismo. --- Recordemos que una órbita periódica es un conjunto tanto positivamente invariante como negativamente invariante, luego contiene todos los puntos límite de sus puntos. --- Más aún, en una órbita periódica el $\omega$ límite de cualquier punto es toda la órbita, igualmente el $\alpha$ límite de cualquier punto es toda la órbita. --- Para un poco de práctica, vamos a estudiar los límites de $$ \begin{align*} r' &= r - r^3 \\ \theta' &= 1 \end{align*} $$ --- Denote por $\alpha(x)$ el $\alpha$-límite del punto $x$, y por $\omega(x)$ el $\omega$-límite del punto $x$ --- En coordenadas polares (r,$\theta$): Compruebe (al menos con el dibujo) que: * $\alpha(0.5,0) = \{(0,0)\}$ * $\omega(0.5,0) = \{(r,\theta) \mid r=1, \theta \in \Bbb{R} \}$ --- Ejercicio: * Encuentre alfa y omega límites del punto $(r,\theta)=(3,0)$ * observe que a veces uno de los límites puede ser el conjunto vacío. --- Ejercicio: Para los puntos $(r,\theta)=(1,0),(2,0),(3,0)$, describa sus alfa y omega límites según el sistema $$ \begin{align*} r' &= \sin(\pi r) \\ \theta' &= 1 + \theta^2 \end{align*} $$ Observe que el sistema "siempre gira" --- Ejercicio (para quienes han cursado Topología) Demuestre que un conjunto cerrado positivamente invariante contiene todos sus puntos omega límite. --- **Obs:** La topología es fundamental en las matemáticas. Es un lenguaje que permite describir algunas cosas precisamente, y permite desarrollar la intuición al respecto de otros aspectos de una teoría.