# Notas tensores y formas diferenciales
$\def\RR{\Bbb{R}}$ $\def\RRn{\RR^n}$ $\def\PP{\Bbb{P}}$ $\def\PPn{\PP^n}$ $\def\powm{^{-1}}$ $\def\powb{^{2}}$ $\newcommand\pow{^}$ $\newcommand\dd{\mathrm{d}}$ $\newcommand\derp[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}$

Dado un espacio vectorial $V$ sobre un campo $k$ (digamos, $k=\RR$) denote por $V\pow *$ a su dual. Recuerde que el dual es el espacio de todas las formas lineales con valores en $k$, es decir, los funcionales lineales que mapean elementos de $V$ a $k$.

El espacio tangente tiene asociado un haz vectorial dual. Sobre cada punto p el espacio asociado es $T_p\pow * M$. El espacio total $T\pow * M$ se llama el espacio cotangente.

**Def.** Una 0-forma diferencial es una función diferenciable $f:M \to \RR$.

**Def.** Una 1-forma diferencial es una función diferenciable que asocia a cada $p\in M$ un elemento de $T\pow * _p M$.

Un ejemplo y definición es:

**Def.** El diferencial de una función diferenciable $f$ se define y denota por
$$
\dd f(v_p) := v_p[f]
$$

Cuando se tienen coordenadas, son naturales las funciones coordenadas $x_i$, las que definen los diferenciales $\dd x_i$, que son una base dual de la base $\partial_i$:
$$
\dd x_i(\partial_j) = \delta_{ij}
$$
donde $\delta_{ij}$ es el delta de Kronecker.

**Prop.** Para una función diferenciable $f$, se tiene que
$$
\dd f = \sum_i{\derp{f}{x_i}\dd x_i}
$$

**Ejercicio:** Demostrar este resultado.

Observe que una 1-forma se puede expresar siempre como combinación lineal de la base $\dd x_i$.

**ejercicio:** pruebe demostrar esto.

Observe que una 1-forma diferencial está bien definida al conocer sus valores en una base del tangente en cada punto.

Para un espacio vectorial $V$ de dimensión finita d generado por $e_1 , \dots, e_d$, se denota a su n-ésimo producto exterior por $\bigwedge\pow n V$ y se define como el espacio vectorial generado por los elementos $e_{a_1}\wedge\dots\wedge e_{a_n}$, donde la operación por $\wedge$ cumple
$$
e_i\wedge e_j = -e_j\wedge e_i
$$

Observe que $\bigwedge\pow n V$ es de dimensión 1 si $n=d$, y es cero si $n > d$

Así, si en cada punto p de M colocamos el espacio $\bigwedge\pow n T_p\pow * M$, tenemos el espacio de las n-formas diferenciales.

Se define ahora la derivada exterior

**Def.** La derivada exterior de una 0-forma $f$ es $\dd f$. La derivada exterior de una n-forma $\omega$ es una n+1 forma que se puede definir mediante
$$
\dd(f x_{a_1}\wedge\dots\wedge x_{a_n}) =
\dd f \wedge x_{a_1}\wedge\dots\wedge x_{a_n}
$$

Observe que esta fórmula basta para poder calcular la derivada exterior de cualquier forma diferencial.

En particular, para una 1-forma diferencial general en dimensión 2
$\omega=\sum_{i=1}\pow 2 {f_i \dd x_i}$, se tiene
$$
\dd \omega = (\derp{f}{x_1} - \derp{f}{d_2})\dd x_1 \dd x_2
$$

**ejercicio:** compruebe este resultado.

Observe que este resultado coincide con una expresión que se conoce para el teorema de Green de integración en el plano. Esto es un caso particular del teorema de Stokes de integración de formas diferenciales.

Las formas diferenciales son muy útiles para estudiar geometría, resumen muchas propiedades y proveen de coherencia a cosas que se veían como dispersas y sin una razón específica, como el teorema de Green de integración en el plano, el teorema de la integral de la diveregencia de un campo vectorial, la regla de transformación de variables en integrales en varias variables y el determinante jacobiano que involucran, etc.

**Def.:** Un tensor (n-tensor) es una función diferenciable (a veces se pide $C\pow\infty$) que en cada punto $p\in M$ define un funcional n-lineal de $T_p\pow n M$ al campo base (para nosotros, $\RR$)

En el uso en física, suelen categorizar los tensores como "p-veces covariante y q-veces contravariante". Pero no trataremos esto.

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