# 能帶

補充資料網站

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https://zhuanlan.zhihu.com/p/138788859

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平面波方程式
u(x,t)=aei(kx−ωt)

i(kx−ωt)為e的指數

k：波向量
ω：角頻率
a:振幅

通常取上式的實部解作為波方程式的解，這是在均勻介質中純量波方程式的解，至於向量波方程式，例如電磁輻射或彈性體中的波這些解在均勻介質中是相似的

我們量的k point是波向量(正比於粒子的動量)

之所以從平面波出發是因為在物理學中不帶電的電子以及原子核可以視為平面波，可以具有任意能量，而薛定諤方程式和布洛赫波是量子力學中很重要的點，對於VASP背後的理論也是習習相關。

以下是為何VASP要用傅立葉轉換從實空間轉換成導空間的背後理論:

平面波波向量 （又稱「布洛赫波向量」，它與約化普朗克常數的乘積即為粒子的晶體動量）表徵不同原胞間電子波函數的位相變化，其大小只在一個倒易點陣向量之內才與波函數滿足一一對應關係，所以通常只考慮第一布里淵區內的波向量，即所謂「簡約波向量」。對一個給定的波矢和位能場分佈，電子運動的薛定諤方程具有一系列解，稱為電子的能帶，常用波函數的下標n 以區別。這些能帶的能量在的各個單值區分界處存在有限大小的空隙，稱為能隙。在第一布里淵區中所有能量本徵態的集合構成了電子的能帶結構。在單電子近似的框架內，周期性位能場中電子運動的宏觀性質都可以根據能帶結構及相應的波函數計算出。

資料來源:https://www.wikiwand.com/zh-hk/%E5%B8%83%E6%B4%9B%E8%B5%AB%E6%B3%A2

布洛赫波由一個平面波和一個周期函數 u( r ) （布洛赫波包）相乘得到:

當位能場具有晶格周期性時，其中的粒子所滿足的波動方程的解ψ存在性質：