問題1(厳密解)
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$\theta$のうち最小のものを$\theta^*$とする。$S=\frac{1}{2} sin\theta^*$の期待値を求めれば良い。$kE[S]$が答えになる。
$F(\theta^*)$=($\theta$の最小値が$\theta^*$未満の確率)=1-($\theta$の最小値が$\theta^*$以上の確率)=$1-(\frac{2\pi-\theta^*}{2\pi})^{k-1}$となり、
$E[S]=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} F'(\theta^*)\sin(\theta^*)d\theta^*=-\frac{1}{2}\frac{k-1}{2\pi}\int_0^{2\pi}(\frac{\theta}{2\pi})^{k-2}sin \theta d \theta$(適当に置換してます)
となるのでこの積分を気合でやって、k倍すれば答えだと思ったけどそうなりますかkktyさん。

**iiyo**

wolframぶち込んだ感じ正しそう…？

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-1%2F2%2864*63%2F%282%5C%5BPi%5D%29%29%28Integrate%5B%28x%2F%282%5C%5BPi%5D%29%29%5E62+sin+x%2C+%7Bx%2C+0%2C+2%5C%5BPi%5D%7D%5D%29&lang=ja

上はk=64の場合で、結構$\pi$(半径1の円の面積)に近いことがわかりますね。