# Lösungen Klausur WS1819
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## Aufgabe 1
### a)
Eine Operation ist eine Multiplikation und eine Addition (ungefähr)
Aufwand der LR Zerlegung: $\frac{1}{3}N^3$
### b)
Auslöschung...
### c)
Möglicherweise ist $x<eps$ und $1+x$ wird zu $1$ gerundet.
### d)
A: nicht orthogonal
B: nicht symmetrisch
### e)
Zeilensummennorm: 20
### f)
Die EW stehen auf der Diagonalen. Die Kondition ist der Quotient aus betragsmäßig größtem und betragsmäßig kleinstem EW.
### g)
### h)
### i)
SWZ: $A=U\Sigma V^\top$ für $A\in\mathbb{R}^{M\times N}$, $U\in\mathbb{R}^{M\times M}$, $V\in\mathbb{R}^{N\times N}$, $U$ und $V$ orthogonal, $\Sigma$ mit passenden Dimensionen und Diagonalstruktur (die Singulärwerte stehen auf der Diagonalen).
$||A||_2=\sqrt{gr.\, EW\, von\, A^\top A}=\sqrt{gr.\, EW\, von\, \Sigma^\top\Sigma}$, denn $A^\top A=V\Sigma^\top U^\top U\Sigma V^\top=V\Sigma^\top \Sigma V^\top$ und mit $V$ orthogonal (und deshalb regulär bzw. invertierbar) sind $A^\top A$ und $\Sigma^\top\Sigma$ ähnlich, haben also die gleichen EWe. $\Sigma^\top\Sigma$ ist diagonal, also stehen die EWe auf der Diagonalen und es sind die Quadrate der Singulärwerte. Da diese alle positiv sind gilt $||A||_2=\sqrt{\sigma_1^2}=\sigma_1$
## Aufgabe 2
### a)
Eine Matrix $A\in\mathbb{R}^{K\times N}\;(K\geq N)$ mit maximalem Rang kann folgendermaßen zerlegt werden:
$A=QR$ mit $Q\in\mathbb{R}^{K\times K}$ und $R=\begin{pmatrix}\tilde{R}\\0\end{pmatrix}$ mit $\tilde{R}\in\mathbb{R}^{K\times N}$
### b)
Lösung von $Ax=b$:
1. Berechne QR-Zerlegung
2. Löse $Qy=b$. $y$ kann über $Q^\top b$ berechnet werden
3. Löse $Rx=y$

Aufwand: $\frac{2}{3}N^3$
### c)
$\delta=-3$
$w=\frac{1}{4\sqrt{3}}\begin{pmatrix}4\\2\\2\end{pmatrix}$
$Q=I_3-2ww^\top$
$Qx=\begin{pmatrix}-3\\0\\0\end{pmatrix}$
### d)
Lineare Ausgleichsrechnung
Eigenwertberechnung