# Lösungen Klausur SS19
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## Aufgabe 1
### a)
$A=LR\in\mathbb{R}^{N\times N}$ existiert$\iff$Alle $A[1:n, 1:n]$ für $n=1,...,N$ sinid regulär
### b)
$PA=LR$ mit:
$P=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}, L=\begin{pmatrix}1&0&0\\\frac{1}{4}&1&0\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&1\end{pmatrix}, R=\begin{pmatrix}4&8&0\\0&-2&6\\0&0&6\end{pmatrix}$
## Aufgabe 2
Siehe auch Übung
### a)
$x$ löst $||Ax-b||_2=min!\iff x$ löst $A^\top Ax=A^\top b$
## Aufgabe 6
### a)
(0,1): 5 [mögliche Exponenten(-4, -3, -2, -1, 0)] x 2 [Möglichkeiten für die erste Stelle der Mantisse(1 und 2)] x 3 x 3 x 3 [Möglichkeiten für die weiteren Stellen der Mantisse]

[1,B): 1 [möglicher Exponent(nämlich 1)] x 2 [Möglichkeiten für die erste Stelle der Mantisse(1 und 2)] x 3 x 3 x 3 [Möglichkeiten für die weiteren Stellen der Mantisse]

Verhältnis 5:1
### b)
### c)
1-Norm:
$||A||_1=\max_{m=1,...,N} \sum_{n=1}^{N} |a_{nm}|=17$
### d)
Die Matrix $Q$ kann abgespeichert werden, indem nur der Vektor $w$ gespeichert wird, da klar ist, dass $Q=I-2ww^\top$. Selbst für die Multiplikation $Qv$ wird weder $Q$ noch $ww^\top$ ausgerechnet. Stattdessen wird $Qv=(I-2ww^\top)v=v-2(w^\top v)w$ ausgerechnet, wobei das aufwendigste hierbei das Skalarprodukt $w^\top v$ ist.
### e)