# 工程數學 - 賓拿雅 Binayak Kar

# 課程資訊
> * [清華練習題](https://ocw.nthu.edu.tw/ocw/index.php?page=exercise&major=10510%E8%B3%87%E5%B7%A5%E7%B3%BB%E7%8E%8B%E4%BF%8A%E5%A0%AF%E6%95%99%E6%8E%88%E5%B7%A5%E7%A8%8B%E6%95%B8%E5%AD%B8%E5%9C%96%E5%BA%AB%E7%B7%B4%E7%BF%92)

# Chapter 1

## 1.1 基本概念與物理建模 (Basic Concepts and Physics Modeling)
⚠️備註：本課程僅專注於教授如何求解線性常微分方程 (Linear ODEs)
- **微分方程之定義 (Definition of Differential Equation)：**
指的是包含未知函數及其導數、獨立自變數的方程式。對於 $n$ 階常微分方程，其一般形式為：
$$
y=y(x),
\quad f(x,~y,~\frac{dy}{dx},~\frac{d^2y}{dx^2},~\dotsb,~\frac{d^ny}{dx^n})=0
$$

以下列舉一些專有名詞及微分方程的判別方式：
* 常微分方程 (Ordinary Differential Equations, ODE)
構成微分方程的未知函數為單變數，以二階一次線性 ODE 為例：
$$
y=y(t),\quad y'=\frac{dy}{dt},\quad\text{example:}\quad y''+y'+4y-\cos t=0
$$
* 偏微分方程 (Partial Differential Equations, PDE)
多變數函數，以二階一次非線性 PDE 為例：
$$
u=u(x,t),\quad \text{example:}\quad\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2u}{\partial t^2}+x-t=u^2
$$
* 階數 (Order of DE)：微分方程最高階導數之次數，即微分幾次。
* 次數 (Degree of DE)：微分方程中皆為整數時，最高階導數的次數。
* 線性 (Linear of DE)：**未知函數及其導數** 滿足下列特性稱為線性
$$
\begin{cases}
~\operatorname{degree}(DE)=1 \\
~不能有互乘項 \\
~不能有非線性函數，如：三角函數、指數函數
\end{cases}
$$

- **初值問題 (Initial Value Problem, IVP)：**
當附加條件 $y(x_0) = y_0$ 時，問題稱為初值問題。解這類問題通常會得到一個**特解 (Particular Solution)**，而不僅僅是一組解。

$$
\begin{cases}
\dfrac{dy}{dx}=f(x,y) \\
y(x_0)=y_0
\end{cases}
$$

- **積分常數 (Integration Constant)：**
當對方程進行積分時，必須加入一個任意常數 $C$；例如解以下微分方程
$$
\frac{dy}{dx} = \cos(x)\implies dy=\cos(x)~dx
$$ 積分得到
$$
y(x) = \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C
$$ 其中 $C$ 就是積分常數，代表所有滿足此方程的解構成一個無窮多的解組。

- **建模 (Modeling)：**
建模指的是從實際工程或物理問題中建立相應的微分方程。例如：
- **指數增長/衰減 (Exponential Growth/Decay)：**
若某物質的變化率與其數量成正比，可寫成
$$
\frac{dy}{dt} = ky\quad\xrightarrow[]{\int}\quad y(t)=y_0e^{kt}
$$ 這裡的 $k$ 為比例常數，$y_0$ 為初始值。

## 1.2 方向場與歐拉法 (Direction Fields and Euler’s Method)
- **方向場 (Direction Field 或 Slope Field)：**
一種圖形工具，用來表示在平面上每個點 $(x, y)$ 處的斜率 $f(x, y)$ (也就是微分方程中的右側函數值)。
- **用途：** 有助於直觀了解微分方程的解曲線趨勢，即使解析求解困難，也能用圖形近似出解的行為。

- **歐拉法 (Euler’s Method)：**
是一種最簡單的數值方法，用於近似求解初值問題。
- **基本公式：**
給定初值 $y(x_0)=y_0$ 和微分方程
$$
\frac{dy}{dx} = f(x, y)
$$ 選定步長 $h$，則可遞推得到
$$
y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)
$$ 其中 $x_{n+1} = x_n + h$。
- **解釋：**
這個公式的意思是：在 $x_n$ 處，利用已知斜率 $f(x_n, y_n)$ 估計從 $x_n$ 到 $x_n + h$ 的變化量，從而獲得近似值 $y_{n+1}$。

## 1.3 可分離方程 (Separable Equations)

- **可分離方程的定義：**
當一階微分方程能夠寫成
$$
\frac{dy}{dx} = g(x) \cdot h(y)　\equiv　\frac{1}{h(y)}~dy = g(x)~dx
$$ 則稱該方程為**可分離 (Separable)** 的。

- **分離變數法 (Separation of Variables)：**
1. **分離變數：** 將 $y$ 相關項與 $x$ 相關項分開，得到形如
$$
\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx
$$
2. **兩邊積分：**
$$
\int \frac{1}{h(y)}\,dy = \int g(x)\,dx
$$
3. **求解積分後：** 通常可得一隱式解，其 “可能” 化簡成 $y$ 之顯式解。
- **例題 (p.12)**
考慮微分方程
$$
\frac{dy}{dx} = ky
$$ 這是一個可分離方程，分離變數得
$$
\frac{1}{y}~dy = k~dx,\quad \int\frac{1}{y}~dy+C_1=\int k~dx+C_2
$$ 積分後得
$$
C_2-C_1=C,\quad \ln|y| = kx + C
$$ 指數化後得到
$$
e^C=C,\quad y=e^Ce^{kx}\implies y = Ce^{kx}
$$ 所有 $C$ 均為任意常數。

- **注意事項：**
⚠️在積分過程中，必須盡早引入積分常數 $C$，以避免漏掉或錯誤處理常數。⚠️

## 1.4 恰當微分方程與積分因子 (Exact ODEs and Integrating Factors
⚠️備註：Exact ODEs 也可譯作正合微分方程。
- **恰當微分方程之定義**
考慮一階常微分方程
$$
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
$$ 若存在純量函數 $u(x,y)=c$ 使其全微分滿足：
$$
du = \frac{\partial u}{\partial x}~dx + \frac{\partial u}{\partial y}~dy,
\quad P(x,y)=\frac{\partial u}{\partial x}\quad\text{and}\quad Q(x,y)=\frac{\partial u}{\partial y}
$$ 即 $P$ 和 $Q$ 恰符合 $u(x,y)$ 之全微分結果，則稱原方程為 Exact ODE。
- **恰當性檢驗條件 (Exactness Condition)**
方程可透過二次偏微分的對稱性進行恰當檢查。若不符合，則需引入積分因子轉化方程。
$$
\text{if}\quad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial^2u}{\partial y \partial x} =
\frac{\partial^2u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\quad \text{then DE is an Exact ODE.}
$$
- **恰當微分方程求解及例題**
1. 積分 $P$ 或 $Q$，並以 $k(y)$ 或 $l(x)$ 表示積分後仍可能包含的未知函數。
$$
u=\int P(x,y)~dx+k(y)
$$
2. 移項、對 $y$ 偏微，確認 $k(y)$ 的形式，$l(x)$ 則為對 x 偏微。
$$
\frac{dk}{dy}=Q - \frac{\partial}{\partial y}\int P(x,y)~dx
$$$$
\int dk=k(y)=\left\{\int Q - \left[\frac{\partial}{\partial y}\int P(x,y)~dx\right]~dy\right\}+C
$$
- 速解：
直接對 $P~dx,Q~dy$ 各自偏積分，將 $Q~dy$ 中存在 $x$ 變數的項全數捨棄 (寫作 0)。
$$
\int \cos(x+y)dx+\int 3y^2+2y+0~dy=0\quad \rightarrow\quad -\sin(x+y)+y^3+y^2+C=0.
$$
- **例題 (p.22)**
\begin{matrix}
\cos(x+y)dx + (3y^2+2y+\cos(x+y))dy=0 \\
\text{sol:}\quad u(x,y)=-\sin(x+y)+y^3+y^2=c
\end{matrix}
- **積分因子**
當方程檢驗不通過時，則需引入積分因子 (Integrating Factor)。積分因子是一個未知函數 $F(x,y)$，它能夠使得原方程乘以它後，轉化為 Exact ODE。
\begin{matrix}
\text{if}\quad\dfrac{\partial P}{\partial y} \neq \dfrac{\partial Q}{\partial x},\quad\text{then find}\quad F(x,y)\quad s.t. \\~\\
F(x,y)P(x,y)~dx+F(x,y)Q(x,y)~dy=0\quad\text{is an exact ODE.} \\
\text{which means that}\quad F_yP+FP_y=F_xQ+FQ_x
\end{matrix}
此處思路為：利用對稱性檢驗的式子，擬合出符合的未知函數 $F$。
1. **單變數 “題型” 黃金法則 (Golden Rule)：** 將 ODEs 的積分因子 $F$ 設為單變數。
⚠️題型意味著這是學術說法，事實上積分因子普遍存在四種型態。⚠️
$$
F=F(x)\implies F_y=0,\quad s.t. \quad FP_y=F_xQ+FQ_x
$$
2. 方程同除以 $FQ$、移項整理
$$
\frac{dF}{dx}\frac{1}{F}=\frac{1}{Q}(P_y-Q_x),\quad \frac{dF}{F}=\frac{1}{Q}(P_y-Q_x)~dx
$$
3. 積分上式得到 $F$；注意此步驟中右側函數 $R$，須為 $x$ 之單變數函數。
$$
F=\exp\int R(x)~dx,\quad R=R(x)=\frac{1}{Q}(P_y-Q_x)
$$
- **$F^*=F^*(y)$ 的場合**
$$
F^*=\exp\int R^*(y)~dy,\quad R^*=R^*(y)=\frac{1}{P}(Q_x-P_y)
$$
- **例題 (p.25)**
本題中 $R(x)$ 的方法行不通，因為 $R$ 之右側函數為雙變數，故嘗試改用 $R^*(y)$。
\begin{matrix}
(e^{x+y}+ye^y)dx + (xe^y-1)dy=0
,\quad\text{with}\quad y(0)=-1 \\~\\
R=\dfrac{e^{x+y}+ye^y}{xe^y-1},\quad R^*=\dfrac{-e^{x+y}-ye^y}{e^{x+y}+ye^y}=-1,\quad F^*=e^{-y}
\end{matrix} Now solve Exact ODE
$$
(e^x+y)dx+(x-e^{-y})dy=0
$$

## 1.5 線性微分方程 (Linear ODEs)
- **定義：任何可以寫成下列形式的微分方程，稱為一階線性微分方程**
$$
y'+p(x)y=r(x)
$$ 其中 $p(x)$ 和 $r(x)$ 為已知函數。線性方程又分為齊次型和非齊次型，判別取決於 $r(x)$。
1. $r(x) = 0$ 為齊次型 (Homogeneous)
- 直接使用分離變數法求解：
$$
\frac{dy}{dx} + p(x)y = 0 \quad\implies\quad \frac{dy}{y} = -p(x)dx
$$
- 積分後得：
$$
y = Ce^{-\int p(x)dx}
$$
2. $r(x) \neq 0$ 為非齊次型 (non-Homogeneous)
- 乘入積分因子，透過微分乘法法則推斷出合理解：
$$
\mu y' +p\mu y=r\mu,\quad\text{let}\quad p\mu=\mu'\implies \mu=\exp\int p~dx
$$
- 原方程乘以積分因子，可轉化為：
$$
\mu y' + \mu' y = \mu r, \quad \frac{d(\mu y)}{dx} = \mu y' + \mu' y
$$$$
d(\mu y)=\mu r~dx
$$
- 積分後得到通解：
$$
y(x) = \frac{1}{\mu(x)} \left[ \int \mu(x) r(x)dx + C \right]
$$
- **例題 (p.29)**
$$
y'+y\tan x=\sin 2x,\quad p(x)=\tan x\quad r(x)=\sin 2x, \quad y(0)=1
$$
1. 先求積分因子 $\mu$
$$
\mu(x) = \exp\int \tan x~dx=\sec x
$$
2. 代入後得到通解
$$
\sin 2x=2\sin x\cos x,\quad y(x)=\cos x\left[2\int \sin x~dx+C\right]=\cos x(-2\cos x + C)
$$ $$
\text{general sol:}\quad y(x) = -2\cos^2x + C\cos x
$$
3. 解 IVP
$$
y(0)=-2\cdot 1 + c\cdot 1=1,\quad c=3
$$ $$ \text{sol:}\quad y(x)=-2\cos^2x+3\cos x$$
- **伯努利方程 (Bernoulli Equation)**
某些非線性方程可以轉化為線性方程，其中一個例子即是柏努利方程。
伯努利方程的標準形式：
$$
y' + p(x)y = g(x)y^a
$$ 轉換成線性微分方程之步驟：
1. 把等號右側的 $y^a$ 消除 (同除 $y^a$)
$$
y^{-a}y'+p(x)y^{1-a}=g(x)
$$
2. $\text{let}\quad u=y^{1-a},\quad u'=(1-a)y^{-a}y'$
3. 將原式整理成 $y'=\dotsb$ 形式，帶入步驟 2 中的 $u'=(1-a)y^{-a}y'$
4. 現可套用線性微分方程解

速解：
- 透過變數替換 $u = y^{1-a}$，將微方改寫為線性 ODE：
$$
u' + (1-a)p(x)u = (1-a)g(x)
$$
- 然後將其視為非齊次型線性微方，使用積分因子法求解。
- **例題**
**Logistic 方程 (Verhulst 方程)：**
$$
y' = Ay - By^2
$$
1. 變數替換 $u = \dfrac{1}{y}$，將其轉換為線性 ODE：
$$
u' - A u = -B
$$
2. 求解後得到 Logistic 方程的通解：
$$
y = \frac{A}{B + Ce^{-At}}
$$

# Chapter 2 & 3

## 2.1 二階線性常微分方程 (Linear ODEs of Second Order)
- 所有辨別微分方程的方法，統整於 **1.1** 的微分方程之定義中。
- **定義：任何可以寫成下列形式的微分方程，稱為二階線性微分方程**
$$
f(x)y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)
$$
可以整式同除 $f(x)$ 寫成標準型。二次線性亦分為齊次和非齊次。
1. $r(x)=0$ 齊次型
齊次型的解通常是一個線性組合，且解線性獨立
$$
y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)
$$ 可以透過 Wronskian 行列式判斷解是否線性獨立 $\equiv$ 存在通解，
$$
W(y_1,y_2)=
\begin{vmatrix}
y_1&y_2 \\
y_1'&y_2'
\end{vmatrix}\neq0\quad\implies\quad
\text{Linear Independent.}
$$ 若 $W(y_1,y_2)=0$ 則解線性相關，無法找到通解。
3. $r(x)\neq 0$ 非齊次型

因個人筆記風格不同，4/8 起停止更新。轉戰 Notion。