La formula di Grassmann

# La formula di Grassmann ###### tags: `al` #### Intersesioni e somme di sottospazi ###### Teorema Dati due sottospazi $A,B$ di uno spazio vettoriale $V$ sul campo $\mathbb{K}$, vale $$ dim(A)+dim(B)=dim(A\cap B)+dim(A+B) $$ `Manca la parte in cui spiega come calcolare l'intersezione di due sottospazi (è un metodo)` #### Somma diretta ###### Definizione Si dice che due sottospazi $U$ e $W$ di uno spazio vettoriale $V$ formano una **somma diretta** se vale che $U\cap W={O}$. ###### Osservazione In questo caso, come sappiamo dalla formula di Grassmann, la dimensione di $U+W$ è "la massima possibile", ovvero è uguale a $dim(U)+dim(W)$. Vale anche il viceversa, ossia due sottospazi sono in somma diretta se e solo se $dim(U+W)=dim(U)+dim(W)$. ###### Notazione Quando siamo sicuri che $U+W$ è la somma di due sottospazi che sono in somma diretta, al posto di $U+W$ possiamo scrivere $U\oplus W$. In particolare, per avere una base di $U\oplus W$ basta fare l'unione di una base di $U$ con una base di $W$ (si osserva immediatamente che i vettori di questa unione generano $U\oplus W$ e inoltre sono nel "giusto numero", ossia il loro numero è $dim(U)+dim(W)$ #### Sottospazio complementare ###### Definizione Dati due sottospazi $U$ e $W$ di uno spazio vettoriale $V$, può capitare che siano in somma diretta e che inoltre $U\oplus W=V$. Si dice in questo caso che i due sottospazi sono l'uno il **complementare** dell'altro. Un esempio banale di sottospazi complementari è fornito da $\{O\}$ e da $V$ stesso, visto che vale $\{O\}\oplus V=V$. In generale è sempre possibile trovare lo spazio complementare ad un sottospazio proprio di $V$. ###### Osservazione Attenzione: un sottospazio vettoriale $U$ di $V$ che non è uguale a $V$ possiede in generale molti complementari (infiniti, se il campo $\mathbb{K}$ ha infiniti elementi). Per esempio, in $R^3$ un piano passante per l'origine ha per complementare una qualunque retta passante per l'origine e che non giace sul piano.