Sistemi lineari

# Sistemi lineari ###### tags: `al` ###### Teorema L'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineariassociato alla matrice $M$ (a coefficienti nel campo $\mathbb{K}$) coincide con l'insieme delle soluzioni del sistema associato alla matrice $M′$ ottenuta riducendo $M$, attraverso operazioni di riga, in forma a scalini per righe (o a scalini per righe ridotta). ###### Osservazione Nel risolvere il sistema, ogni "scalino lungo" lascerà "libere" alcune variabili, come vediamo nel seguente esempio. Supponiamo che un certo sistema omogeneo a coefficienti in $\mathbb{R}$ conduca allamatrice a scalini: $$ M'= \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & \sqrt3 & 12 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ Allora il sistema finale associato è $$ \begin{cases} \begin{array}{rcl} x+2z+2t & = & 0 \\ y+\sqrt3z+12t & = & 0 \\ 6t & = & 0 \end{array} \end{cases} $$ Risolvendolo, otteniamo dall'ultima equazione $t= 0$ e, sostituendo, $y=−\sqrt3z$ e $x=−2z$. La variabile $z$ resta "libera" e l'insieme delle soluzioni è il seguente sottospazio di $R^4$: $$ S = \{ \left( \begin{array}{c} -2z\\ -\sqrt3z \\ z \\ 0 \end{array} \right) | x \in \mathbb{R} \} = \{z \left( \begin{array}{c} -2\\ -\sqrt3 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) | z \in \mathbb{R} \} = <\left( \begin{array}{c} -2\\ -\sqrt3 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)> $$ ###### Notazione Sia $M$ la matrice associata al sistema e sia $M_o$ la matrice che si ricava da $M$ ponendo uguali a $0$ tutti i coefficienti dell'ultima colonna. Possiamo pensare $M_o$ come la matrice associata al sistema omogeneo ottenuto dal sistema iniziale ponendo uguali a $0$ tutti i membri di destra delle equazioni. Chiamiamo $S_o$ le soluzioni di questo sistema omogeneo e sia $v=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\ \ldots \\a_n\end{array}\right)$ un elemento di $S$. ###### Teorema Con le notazioni introdotte sopra, vale che $$ S=v+S_o=\{v+w|w\in S_o\} $$ ossia le soluzioni del sistema iniziale si ottengono tutte sommando il vettore $v$ alle soluzioni del sistema omogeneo. ###### Corollario L'insieme $S$ delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo, a coefficienti in $\mathbb{K}$, con $m$ equazioni e $n$ incognite, o è **vuoto** oppure è il **traslato** di un sottospazio vettoriale di $\mathbb{K}^n$ , ossia è della forma $v+S_o$, dove $S_o$ (l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato) è un sottospazio vettoriale di dimensione uguale $a_n−(\text{rango di }M_o)$.