Irriducibilità e fattorizzazione Definizione Un polinomio si dice monico se il coefficiente del termine di grado massimo è pari ad $1$. Un elemento $a$ che divide lo zero (cioè diverso da $0$ e tale che esiste $b$ diverso da $0$, con $ab = 0$) è detto divisore dello zero. Un anello commutativo è un anello in cui la moltiplicazione è commutativa. In altre parole, se $a$ e $b$ sono elementi dell'anello allora $a\times b=b\times a$ Un anello commutativo con unità e privo di divisori dello zero è detto dominio di integrità. $\mathbb{Z},$ $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ e $\mathbb{C}$ sono domini di integrità. I domini d'integrità sono anelli con proprietà simili a quelle di $\mathbb{Z}$

Cardinalità Definizione Un insieme $X$ è finito di cardinalità $n \in \mathbb{N}-{0}$ quando esiste una funzione bigettiva $g : X\to\mathbb{N}_n$, e si scrive $|X|=n$ L'insieme vuoto è un insieme finito la cui cardinalità si pone uguale a 0, e si scrive $|\emptyset|=0$ Se un insieme non vuoto Y è tale che per nessun $n \in \mathbb{N}-{0}$ esiste una funzione bigettiva da $Y$ a $\mathbb{N}_n$ allora si dice che $Y$ è infinito. Lemma dei cassetti Lemma

Vettori e span Stabilire se dei vettori sono linearmente indipendenti Si scrivono uno dopo l'altro nelle colonne di una matrice Si applica Gauss alla matrice Se viene un pivot per colonna abbiamo che i vettori sono indipendenti Altrimenti abbiamo che i vettori sono dipendenti

Definizione Uno spazio vettoriale su un campo $\mathbb{K}$ è un insieme $V$ su cui sono definite la somma (o addizione) fra due elementi di $V$ (il cui risultato è ancora un elemento di $V$, si dice che $V$ è chiuso per la somma), e il prodotto di un elemento del campo $\mathbb{K}$ per un elemento di $V$ (il cui risultato è un elemento di $V$ si dice che $V$ è chiuso per il prodotto con elementi di $\mathbb{K}$) che verificano le seguenti proprietà: $\forall ; u,v,w \in V$ vale $(u+v) +w=u+ (v+w)$ (proprietà associativa dell'addizione). $\forall v,w\in V$ vale $v+w=w+v$ (proprietà commutativa dell'addizione). Esiste $O\in V$ tale che $\forall v\in V$ vale $v+O=v$ ($O$ è l'elemento neutro per l'addizione). $\forall v\in V$ esiste un elemento $w$ in $V$ tale che $v+w=O$ (esistenza dell'opposto per l'addizione). $\forall \lambda,\mu\in \mathbb{K} ; \forall v,w \in V$ vale $\lambda(v+w)=\lambda v+\lambda w$ e anche $(\lambda +\mu)v=\lambda v+\mu v$ (proprietà distributiva della moltiplicazione per scalare). $∀\lambda,\mu \in \mathbb{K},\forall v\in V$ vale $(\lambda \mu)v=\lambda(\mu v)$ (proprietà associativa della moltiplicazione per scalare). $∀v∈V$ vale $1v=v$ (proprietà di esistenza dell'invariante moltiplicativo).

Numeri di Fibonacci Per conoscere il numero $F_n$ non basta conoscere il numero $F_{n-1}$ ma bisogna conoscere anche il numero $F_{n-2}$. Una successione di questo tipo (in cui il termine n-esimo si costruisce sapendo i termini precedenti) si dice successione definita per ricorrenza. Come posso trovare una formula per i numeri di Fibonacci? Posso provare con un tentativo: $F_n = \alpha^{n}$. Se così fosse, allora avrei $$ \alpha^n=\alpha^{n-1}+\alpha^{n-2}

Ricorsione Definizione Una definizione ricorsiva è una regola che, dato il valore del termine inziale, mostra come calcolare il termine n + 1-esimo dal termine n-esimo (es. fattoriale). L'induzione invece è uno strumento che serve per dimostrare qualcosa (un enunciato). Principio di induzione Principio Supponiamo che $P(n)$ sia un predicato che dipende da un intero $n \in \mathbb{Z}$. Dato un numero intero $n_0$ vale che: $P(n_0)$ è vera (base dell'induzione); Per ogni $k \ge n_0$, è vera l'implicazione $P(k)⇒P(k + 1)$ (passo induttivo, $P(k)$ si chiama ipotesi induttiva);

Piccolo teorema di Fermat Teorema Se $p$ è un numero primo e $a$ è un numero intero che non è un multiplo di $p$, allora vale $$ a^{p−1} \equiv 1 ; (p) $$ Dimostrazione Dato un intero $a\not\equiv 0 ;(p)$ consideriamo i numeri

Divisione euclidea Teorema Teorema della divisione euclidea Dati $a,b$ interi con $b > 0$ esistono, e sono unici, due interi $q$ (quoziente) ed $r$ (resto), con $$ a = bq + r $$ $$

Principio di Inclusione-Esclusione Teorema Principio di Inclusione-Esclusione Consideriamo un intero $n ≥ 1$ e siano $A_1,A_2,\ldots,A_n$ insiemi finiti. Dato un sottoinsieme $I = {i_1,i_2,\ldots,i_r}$ di $N_n$ poniamo $$ A_I =\bigcap_{i\in I}A_i = A_{i1}\cap A_{i2} \cap\cdots\cap A_{ir} $$ Allora

Endomorfismi lineari invertibili Definizione Consideriamo uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ sul campo $\mathbb{K}$ e una applicazione lineare $L:V\to V$. Una tale applicazione si dice endomorfismo lineare di $V$. Notazione Indicheremo con $End(V)$ l'insieme di tutti gli endomorfismi lineari di $V$. Proposizione Endomorfismi invertibili Un endomorfismo $L$ di $V$ è invertibile se e solo se ha rango $n$.

Intersesioni e somme di sottospazi Teorema Dati due sottospazi $A,B$ di uno spazio vettoriale $V$ sul campo $\mathbb{K}$, vale $$ dim(A)+dim(B)=dim(A\cap B)+dim(A+B) $$ Manca la parte in cui spiega come calcolare l'intersezione di due sottospazi (è un metodo) Somma diretta Definizione

Teorema L'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineariassociato alla matrice $M$ (a coefficienti nel campo $\mathbb{K}$) coincide con l'insieme delle soluzioni del sistema associato alla matrice $M′$ ottenuta riducendo $M$, attraverso operazioni di riga, in forma a scalini per righe (o a scalini per righe ridotta). Osservazione Nel risolvere il sistema, ogni "scalino lungo" lascerà "libere" alcune variabili, come vediamo nel seguente esempio. Supponiamo che un certo sistema omogeneo a coefficienti in $\mathbb{R}$ conduca allamatrice a scalini: $$ M'= \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 2 & 2 & 0 \

Definizione Lemma Corollario Teorema Osservazione Principio Assioma Notazione Proposizione

MCD Definizione Dati due numeri interi $a, b$ non entrambi nulli, il loro massimo comun divisore $MCD(a, b)$ è il più grande numero intero positivo che divide sia $a$ sia $b$. Lemma Dati due numeri interi $a, b$ non entrambi nulli, $MCD(a, b) = MCD(a -b, b)$. Dimostrazione Se un intero divide due numeri divide anche la loro somma e la loro differenza. Quindi se $x$ divide $a$ e $b$, alloar divide anche $a-b$ e $b$. Viceversa se x divide $a-b$ e $b$ allora divide anche $a$ e $b$. L'insieme dei numeri che dividono sia $a$ sia $b$ coincide quindi con l'insieme dei numeri che dividono sia $a-b$ sia $b$.

Definizione Un gruppo $G$ è un insieme non vuoto dotato di una operazione che ad ogni coppia di elementi $a, b \in G$ associa un elemento di $G$ indicato con $a \cdot b$ e ha le seguenti proprietà: dati $a,b,c \in G$ vale $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ (proprietà associativa); esiste un elemento $e \in G$ tale che $a \cdot e = e \cdot a = a$ per ogni $a \in G$ (esistenza dell'elemento neutro / identità in $G$); per ogni $a \in G$ esiste un elemento $a^{-1} \in G$ tale che $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$ (esistenza dell'inverso in $G$). Un gruppo di dice commutativo o abeliano se, per ogni $a, b \in G$ vale $a \cdot b = b \cdot a$. Un gruppo $G$ si dice finito se l'insieme $G$ ha cardinalità finita.

Il problema da risolvere è: dati $a$, $b$, $m \in \mathbb{Z}$ con $m > 0$, trovare tutti gli interi che risolvono la congruenza lineare ad un'incognita $$ ax \equiv b \ mod \ m $$ Osservazione Se esiste un intero $d$ che divide $a$ e $m$ ma non divide $b$, allora l'equazione non ha soluzioni.