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title: Organic Computing Blatt 02 - Team Kohlrabi
tags: Organic Computing, Abgaben
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## 1.1 Am Anfang

[Link to slides](https://hackmd.io/p/bEQQHcaNRim1KgstN3AwTA)

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#### 1.1.1 Was ist die maximale Entropie dieses Systems?

Seien $X$, bzw. $Y$ die distkretisierten Werte für die Koordinaten, sei außerdem $Z := X \times Y \times \{staubig, nicht staubig\}$ die Menge der unterschiedlichen Zustände.
Dann ist die Anzahl der möglichen Zustände $|Z| =: n$. Die Entropie ist maximal, wenn jeder Zustand die gleiche Wahrscheinlichkeit $p=\frac{1}{n}$ hat.
$\Rightarrow H_{max} = -\sum \limits_{i = 1}^{|Z|}\dfrac{1}{|Z|} \operatorname{log}_2\left(\dfrac{1}{|Z|}\right) = - n \cdot \dfrac{1}{n} \operatorname{log}_2\left(\dfrac{1}{n}\right)$

Wir teilen das KInderzimmer in zwei Kinderzimmern auf.
In dem 1. Kinderzimmer befinden sich die sauberen Teddybären, in dem 2. Kinderzimmer nur die staubigen.

$n = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$

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> Teddybärgruppen sind Teddybären die die gleiche Schmutzigkeit und diskretisierte Position haben.

| Gruppengröße | #saubere G. | #staubige G. | #Gruppen ges. |
| ------------ | ----------- | ------------ | ------------- |
| 0 | 5 | 9 | 14 |
| 1 | 8 | 4 | 12 |
| 2 | 2 | 2 | 4 |
| 3 | 0 | 0 | 0 |
| ... | ... | ... | ... |
| 12 | 0 | 0 | 0 |

$$
\begin{aligned}
H_{max} &= -\sum \limits_{i = 1}^{30}\dfrac{1}{30} \operatorname{log}_2\left(\dfrac{1}{30}\right) = - 30 \cdot \dfrac{1}{30} \operatorname{log}_2\left(\dfrac{1}{30}\right)
\\
&= 4.906890595608519 \approx 4.91
\end{aligned}
$$

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#### 1.1.2 Wie redundant ist der Ursprungszustand?

*Systementropie:* $H(S) = -\sum \limits_{A}^{} H_A$

*Redundanz:* $R(S) = H_{max}(S) - H(S)$

**Bei der Lösung bin ich mir unsicher?**

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#### Abbildung 1: vor dem Aufräumen
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**Attribut: x-Koordinate:**

| Wert | # Teddybären |
| ---- | ------------ |
| 0 | 5 |
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
| 3 | 3 |
| 4 | 5 |

$H_{xcoordinate} = -\left(
\dfrac{5}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{5}{20}\right)+
\dfrac{3}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{3}{20}\right)+
\dfrac{4}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{4}{20}\right)+
\dfrac{3}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{3}{20}\right)+
\dfrac{5}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{5}{20}\right)
\right) = 2.2854752972273342 \approx 2.29$

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**Attribut: y-Koordinate:**

| Wert | # Teddybären |
| ---- | ------------ |
| 0 | 4 |
| 1 | 8 |
| 2 | 8 |

$H_{ycoordinate} = -\left(
\dfrac{4}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{4}{20}\right)+
\dfrac{8}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{8}{20}\right)+
\dfrac{8}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{8}{20}\right)
\right) = 1.5219280948873622 \approx 1.52$

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**Attribut: staubig**

| #Gruppengöße | # Gruppen | # Teddybären |
| ------------ | --------- | ------------ |
| 1 | 4 | 4 |
| 2 | 2 | 4 |

$H_{staubig} = -\left(
\dfrac{4}{8} \operatorname{ld}\left(\dfrac{4}{8}\right)+
\dfrac{4}{8} \operatorname{ld}\left(\dfrac{4}{8}\right)
\right) = 1$

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$H(S) = H_{xcoordinate} + H_{ycoordinate} + H_{staubig} =
2.29 + 1.52 + 1 = 4.81$

$R(S) = H_{max}(S) - H(S) = 4.91 - 4.81 = 0.10$

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## 1.2 Nach dem Aufräumen

#### 1.2.1 Ermitteln Sie für beide Systemzustände (vor und nach dem Aufräumen) die Shannon-Entropie der Systemattribute und die Systementropie!

*Systementropie:* $H(S) = -\sum \limits_{A}^{} H_A$

Jedes Attribut A hat eine Entropy $H_A =-\sum \limits_{j}^{} p_j \cdot ld(p_j)$

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#### Abbildung 1: vor dem Aufräumen
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**Attribut: x-Koordinate:**

| Wert | # Teddybären |
| ---- | ------------ |
| 0 | 5 |
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
| 3 | 3 |
| 4 | 5 |

$H_{xcoordinate} = -\left(
\dfrac{5}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{5}{20}\right)+
\dfrac{3}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{3}{20}\right)+
\dfrac{4}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{4}{20}\right)+
\dfrac{3}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{3}{20}\right)+
\dfrac{5}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{5}{20}\right)
\right) = 2.2854752972273342 \approx 2.29$

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**Attribut: y-Koordinate:**

| Wert | # Teddybären |
| ---- | ------------ |
| 0 | 4 |
| 1 | 8 |
| 2 | 8 |

$H_{ycoordinate} = -\left(
\dfrac{4}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{4}{20}\right)+
\dfrac{8}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{8}{20}\right)+
\dfrac{8}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{8}{20}\right)
\right) = 1.5219280948873622 \approx 1.52$

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**Attribut: staubig**

| #Gruppengöße | # Gruppen | # Teddybären |
| ------------ | --------- | ------------ |
| 1 | 4 | 4 |
| 2 | 2 | 4 |

$H_{staubig} = -\left(
\dfrac{4}{8} \operatorname{ld}\left(\dfrac{4}{8}\right)+
\dfrac{4}{8} \operatorname{ld}\left(\dfrac{4}{8}\right)
\right) = 1$

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$H(S) = H_{xcoordinate} + H_{ycoordinate} + H_{staubig} =
2.29 + 1.52 + 1 = 4.81$

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#### Abbildung 2: nach dem Aufräumen
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**Attribut: x-Koordinate:**

| Wert | # Teddybären |
| ---- | ------------ |
| 0 | 4 |
| 1 | 4 |
| 2 | 4 |
| 3 | 3 |
| 4 | 5 |

$H_{xcoordinate} = -\left(
\dfrac{4}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{4}{20}\right)+
\dfrac{4}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{4}{20}\right)+
\dfrac{4}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{4}{20}\right)+
\dfrac{3}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{3}{20}\right)+
\dfrac{5}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{5}{20}\right)
\right) = 2.3037016960573481 \approx 2.3$

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**Attribut: y-Koordinate:**

| Wert | # Teddybären |
| ---- | ------------ |
| 0 | 4 |
| 1 | 4 |
| 2 | 12 |

$H_{ycoordinate} = -\left(
\dfrac{4}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{4}{20}\right)+
\dfrac{4}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{4}{20}\right)+
\dfrac{12}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{12}{20}\right)
\right) = 1.3709505944546685 \approx 1.37$

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**Attribut: staubig**

| #Gruppengöße | # Gruppen | # Teddybären |
| ------------ | --------- | ------------ |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 4 |
| 3 | 1 | 3 |

$H_{staubig} = -\left(
\dfrac{1}{8} \operatorname{ld}\left(\dfrac{1}{8}\right)+
\dfrac{4}{8} \operatorname{ld}\left(\dfrac{4}{8}\right)+
\dfrac{3}{8} \operatorname{ld}\left(\dfrac{3}{8}\right)
\right) = 1.4056390622295664 \approx 1.41$

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$H(S) = H_{xcoordinate} + H_{ycoordinate} + H_{staubig} =
2.3 + 1.37 + 1.41 = 5.08$

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#### 1.2.2 Bestimmen Sie darauf basierend die beim Aufräumen in den einzelnen Attributen aufgetretene Emergenz!

Die Emergenz kann nicht bestimmt werden, da es sich nicht um ein selbstorganisiertes System handelt.
Die Teddybären haben sich nicht von selbst aufgeräumt, sondern durch den Vater, also durch eine externe Systemeinwirkung.

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#### 1.2.3 Wie redundant ist der neue Zustand?

*Redundanz:* $R(S) = H_{max}(S) - H(S)$

$H(S) = -\sum \limits_{z \in Z}^{} p_z \cdot log_2(p_z)$

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$H(S) = 5.08$

$R(S) = H_{max}(S) - H(S) = 4.91 - 5.08 = -0.17$

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## Aufgabe 1.3 - Nach der Party

#### 1.3.1 Ermitteln Sie für den neuen Systemzustand die Shannon-Entropie der Systemattribute sowie die Systementropie!

*Systementropie:* $H(S) = -\sum \limits_{A}^{} H_A$
Jedes Attribut A hat eine Entropy $H_A =-\sum \limits_{j}^{} p_j \cdot ld(p_j)$

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#### Abbildung 3: Kinderzimmer nach der Teddy-Party
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**Attribut: x-Koordinate:**

| Wert | # Teddybären |
| ---- | ------------ |
| 0 | 5 |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| 3 | 2 |
| 4 | 5 |

$H_{xcoordinate} = -\left(
\dfrac{5}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{5}{20}\right)+
\dfrac{3}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{3}{20}\right)+
\dfrac{5}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{5}{20}\right)+
\dfrac{2}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{2}{20}\right)+
\dfrac{5}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{5}{20}\right)
\right) = 2.2427376486136671 \approx 2.24$

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**Attribut: y-Koordinate:**

| Wert | # Teddybären |
| ---- | ------------ |
| 0 | 8 |
| 1 | 6 |
| 2 | 6 |

$H_{ycoordinate} = -\left(
\dfrac{8}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{8}{20}\right)+
\dfrac{6}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{6}{20}\right)+
\dfrac{6}{20} \operatorname{ld}\left(\dfrac{6}{20}\right)
\right) = 1.5709505944546687 \approx 1.57$

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**Attribut: staubig**

| #Gruppengöße | # Gruppen | # Teddybären |
| ------------ | --------- | ------------ |
| 1 | 5 | 5 |
| 2 | 1 | 2 |
| 4 | 1 | 4 |

$H_{staubig} = -\left(
\dfrac{5}{11} \operatorname{ld}\left(\dfrac{5}{11}\right)+
\dfrac{2}{11} \operatorname{ld}\left(\dfrac{2}{11}\right)+
\dfrac{4}{11} \operatorname{ld}\left(\dfrac{4}{11}\right)
\right) = 1.4949188482339508 \approx 1.49$

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$H(S) = H_{xcoordinate} + H_{ycoordinate} + H_{staubig} =
1.69 + 2.79 + 1.49 = 5.97$

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#### 1.3.2 Bestimmen Sie darauf basierend die beim Umherwandern in den einzelnen Attributen aufgetretene Emergenz!

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*Emergenz (eines Attributs a):* $M(a) = \triangle H(a) = H_{end}(a) - H_{start}(a)$

*Systememergenz:* $\begin{pmatrix}
M(a_1) \\
M(a_2) \\
\vdots \\
M(a_n)
\end{pmatrix}$

**Start:** Abbildung 2
**Ende:** Abbildung 3

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$M(xcoordinate) = H_{Abb.3}(xcoordinate) - H_{Abb.2}(xcoordinate) =
1.69 - 2.3 = -0.61$
$M(ycoordinate) = H_{Abb.3}(ycoordinate) - H_{Abb.2}(ycoordinate) =
2.79 - 1.37 = 1.42$
$M(staubig) = H_{Abb.3}(staubig) - H_{Abb.2}(staubig) = 1.49 - 1.41 = 0.08$

$\begin{pmatrix}
M(xcoordinate) \\
M(ycoordinate) \\
M(staubig)
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-0.61 \\
1.42 \\
0.08
\end{pmatrix}$

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#### 1.3.3 Stellen Sie die beim Umherwandern aufgetretene Systememergenz mit einem Emergenz-Fingerprintdar!


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## Aufgabe 2.1 - Emergenz visualisieren

## 2.1.4


Die Entropie sinkt für die X, Y Koordinaten Partikel, da diese ja sortiert werden, und weniger "Chaos" vorhanden ist, also sinkt auch die Emergenz.
Die Entropie der Nachbarn steigt und sinkt er später wieder. Anfangs haben die Partikel oft nur 0 oder vielleicht einen Nachbarn. Am Anfang des Clusterns kommen viele 2 oder 3 Nachbarn dazu, aber auch noch viele 0 oder 1 Nachbarn. Dabei entsteht also mehr "Chaos", das dann aber wieder sinkt, sobald die meisten 3 oder 4 Nachbarn haben.

## Aufgabe 2.2 - Neue Abstraktionsebene

## 2.2.1
Wir betrachten nun 5x5 Felder, fassen also 25 zusammen jeweils.
Dadurch gibt es weniger Felder in denen dann alle Teddys liegen, die vorher in diesen 25 Felder lagen.

## 2.2.4
Kaum Unterschiede. Werte haben weniger Rauschen, da die Ameisen und Partikel seltener über "Grenzen" trauen. Die Tendenz ist allerdings die gleiche.