## Kvadratisk funktion i to variable

$$
f(x) = Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F
$$

Sortér udtryk.

$$
f(x) = Ax^2 + Dx + Cy^2 + Ey + F
$$

Faktoriser de sorterede udtryk.

$$
f(x) = A(x^2 + \frac{D}{A}x) + C(y^2 + \frac{E}{C}y) + F
$$

Kvadrat komplettering af udtryk i parenteserne.

$$
f(x) = A(x^2 + \frac{D}{A}x + (\frac{D}{2A})^2 - (\frac{D}{2A})^2) + C(y^2 + \frac{E}{C}y + (\frac{E}{2C})^2 - (\frac{E}{2C})^2) + F
$$

Forsimpling af udvidede kvadrater, v.h.a. kvadratsætning.

$$
f(x) = A((x + \frac{D}{2A})^2 - (\frac{D}{2A})^2) + C((y + \frac{E}{2C})^2 - (\frac{E}{2C})^2) + F
$$

Indholdet af parentesen forkortes, ved ekskludering af andet led, der rykkes ud. (Nu ganget med $A$)

$$
f(x) = A(x + \frac{D}{2A})^2 + C(y + \frac{E}{2C})^2 + F - {4C^2} - A(\frac{D}{2A})^2 - C(\frac{E}{2C})^2
$$

Parenteser ophæves.

$$
f(x) = A(x + \frac{D}{2A})^2 + C(y + \frac{E}{2C}) + F - A\frac{D^2}{4A^2} - C\frac{E^2}{4C^2}
$$

Koefficienter ganges på brøkerne.

$$
f(x) = A(x + \frac{D}{2A})^2 + C(y + \frac{E}{2C}) + F - \frac{D^2}{4A} - \frac{E^2}{4C}
$$

Fortegn vendes om og bagerste led denoteres $M^*$.

$$
f(x) = A(x - (-\frac{D}{2A}))^2 + C(y - (-\frac{E}{2C}))^2 + M^*
$$