## Sandsynlighedsregning

> Udfaldsrum
> Disjunkte/konjunkte

$$
f = \frac{\text{hyppighed}}{\text{antal}}
$$

$$
P(u_n) = f_n
$$

$$
\sum^N_{n = 1} P(u_n) = 1 \text{ altid}
$$

---

### Sandsynlighedsfelt

Forstås som et et par $(U, P)$ hvor $U$ er en endelig mængde. $P$ er en funktion med definitionsmængden $U$ og yderligere opfylder følgende:

$$
0 \leq P(u_n) \leq 1 \text{ for alle } u_n
$$

$$
\sum^N_{n = 1} P(u_i) = 1
$$

---

### Hændelser

Delmængden $A$ af udfaldsrum $U$ kaldes en hændelse.

Ved $A = \{u, ..., u_k\}$ vil sandsynligheden for $A$ være:

$$
P(A) = P(u_1) + ... + P(u_k)
$$

---

> $\cap$ "både og"
> $\cup$ "ikke både og - disjunkte"
> $\varnothing$ "ingenting"

---

### Komplementerhændelse

$\bar A$ er den modsatte hændelse af $A$. Altså:

$$
P(\bar A) + P(A) = 1
$$

---

### Symmetrisk sandsynlighedsfelt

Et marfelt er symmetrisk, hvis alle udfald har samme sandsynlighed.

$$
P(A) = \frac{\text{Antal udfald i } A}{\text{Antal udfald i }U}
$$

---

### Multiplikationsprincippet $n!$

> Multiplikationsprincippet benytter vi til at bestemme antallet af valgmuligheder, når vi i en valgsituation kan opdele valget i flere delvalg.

Multiplikationsprincippet siger så, at det samlede antal valgmuligheder er:

$$
n_1 \cdot n_2 \cdot ... \cdot n_k
$$

For ethvert naturligt tal $n$ er $n!$ defineret ved:

$$
n! = n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1
$$

$$
0! = 1
$$

---

### Binomialkoefficient

Antal valgmuligheder, når vi skal vælge $r$ blandt $n$, betegnes $K(n, r)$

$K(n, r)$ omtaler vi mere præcist *binomialkoefficienten*.

$$
K(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!r!}
$$

### Betingede sandsynligheder

$$
P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}
$$

> Her er sandsynligheden for hændelsen A givet vi ved, at hændelsen B er indtruffet.
>

### Binomialberegning

$$
P(X = r) = K(n, r)p^r(1 - p)^{n - r}
$$

##### Eksempel

$$
P(X = r) = \frac{n!}{(n - r)!r!} \cdot p^r(1 - p)^{n-r}
$$

$n! / ((n - r)! * r!) * p^r * (1 - p)^(n - r)$

### Binomial

Ved $X \sim b(n,p)$, vil følgende være gældende:

- Middelværdi $\mu = np$
- Varians $\sigma^2 = np \cdot (1 - p)$

---

$$
P(X \geq r) = \sum_{i = r}^{n} K(n, r) \cdot p^r(1 - p)^{n - r}
$$

Hvor $K$ igen er følgende:

$$
K(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!r!}
$$