[Link](https://zh.wikipedia.org/wiki/无线电)
[Link](https://zh.wikipedia.org/wiki/载波)
[Link](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/格雷码)
本篇筆記是關於信號與系統的延伸科目——數位傳輸技術。為了複習前面會先講一下前面的基礎概念。由於我不是修信號與系統(或稱訊號與系統)，因此可能有所疏漏，再請利用其他資源。
所謂的數位傳輸技術就是**離散訊號傳輸的技術**。
如下圖所示：
此圖中的調變到解調變的過程即是本課探討的重點。順帶解釋一下圖，如果今天A要跟B說話，A會先腦中想要說什麼(也就是原始訊息$m$)再轉由肌肉聲帶等發聲器官轉換成聲波(轉換成語言即是**向量編碼**再由調變轉換成聲音)；聲波由空氣(**通道**)傳播到B耳裡再由B的大腦理解(**解調變與解碼**)A要說些什麼。
> [「源與匯」（source and sink）](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%BA%90%E4%B8%8E%E6%B1%87)它把流體的源與匯（例如浴缸的水龍頭與排水口）這一概念推廣到不同的科學領域。這邊可以說Source是發送訊號的源頭;Sink是最後的接收端 。
# 訊號(Signal)
> 維基百科上寫：「訊號是傳遞有關一些現象的行為或屬性的函數。」可知的是，訊號可以以數學函式的形式呈現，可以寫成數學式。

廣義上來說，在現實世界中的任何隨時間或空間變化的「量」都能是潛在的訊號，比如無線電、甩繩子的波、影像、語言、聲納、雷達等，他們可能會提供一個物理系統的狀態或資訊。
表現形式可以分成時間和位置的函數，意即可以分成某個訊號源發射訊號後隨時間往外擴散的波上的每個點每個在哪個時間會跑到哪裡，以及某個固定的物理位置上在哪個時間會接收到什麼樣的波。
訊號可以以二分法分成連續和離散、或次分成數位和類比，前者是時間軸上是否連續有關，後者與維度上是否連續有關
> ### 離散和連續 (Discrete vs Continuous)
> 
> 以圖片舉例，連續的訊號可以在橫軸上的每個位置找到他對應的點，進一步可以把點連成線；而離散則
是只在特定的位置上有找得到對應的點。
以實例來說明：Ａ和Ｂ在對話，Ａ講話的時候他會說出一個句子，而他說話時發出的聲音是連續的。你可以聽到他說話時開頭時的發語詞、每個字的音節、尾音還有講話的音調等等；而Ｂ聽到的「話語」則會是一個一個的字。Ａ發出的聲音可以說是連續的，而Ｂ聽到的話則是Ｂ聽到並且理解的內容則是離散的。
再進一步地延伸這個例子，發射訊號時會連續傳遞一段訊息，而接收訊息並且「理解」或轉譯（這個過程稱為「取樣」）之後得到的訊號則是離散的。
> ### 數位和類比(Digital vs Analog)
> 
> 數位訊號和類比訊號的關係與前面的連續和離散差不多，類比訊號是即時的且連續的；而數位，就是把原始真實世界的訊號經過抽樣取值後的「離散(discrete)」訊號，它是由斷斷續續的很多點、很多讀值所組成。[引用自本篇](https://www.facebook.com/100076195573923/posts/%E9%A1%9E%E6%AF%94%E8%A8%8A%E8%99%9F%E8%88%87%E6%95%B8%E4%BD%8D%E8%A8%8A%E8%99%9F%E5%88%B0%E5%BA%95%E4%BB%80%E9%BA%BC%E6%98%AF%E9%A1%9E%E6%AF%94%E8%A8%8A%E8%99%9Fanalog-signal%E4%BB%80%E9%BA%BC%E6%98%AF%E6%95%B8%E4%BD%8D%E8%A8%8A%E8%99%9Fdigital-signal%E9%A1%9E%E6%AF%94%E5%B0%B1%E6%98%AF%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%AF%94%E6%93%AC%E6%96%BC%E5%8E%9F%E5%A7%8B%E8%A8%8A%E8%99%9F%E7%9A%84%E9%80%A3%E7%BA%8Ccontinuous%E8%A8%8A%E8%99%9F/754234620459717/)
以數學式表的話，可以寫成以下$$x(t)\xrightarrow[]{Sampling}\ x[n]=x(nT_s)$$
> ### 取樣(Sampling)
> Sampling是取樣，代表今天發送了$x(t)$訊號出去後，放一個接收器，而這個接受器會在收到波時在單位時間內平均地紀錄當下收到的波的震幅，$x(t)$是我們發送的訊號；$f_s=\frac{1}{T_s}$($f_s$是頻率，指單位時間內取樣訊號的次數；$T_s$則是週期，為頻率倒數)；$x[n]$則是第$n$次取樣時讀到的值。
這邊可以看到左邊連續訊號使用的是$()$而右邊的離散訊號則是使用$[]$來表示，內容物則一個是$t$，帶入不同的時間點可以找出該時間點$t$的$x(t)$值，另一邊則是以$n$表示第$n$次取樣時得到的讀取值。
> 數位傳輸技術指的是「離散訊號傳輸的技術」
> ### [載波(Carrier Wave)](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E8%BD%BD%E6%B3%A2)
> 指的是被調變以傳輸的波型。一般常用正弦波。
> ### 為什麼常用正弦波而非餘弦之類的波說明?
>因為餘弦可以用正弦波再帶入相位移動表示，因此都是寫正弦波非餘弦。
# 通道Channel
簡易的示意： 如果我們今天發送端發送的訊號為 $x(t)$ ，而接收端收到的訊號為 $y(t)$ ，通道可以以下列方式呈現 $$x(t) \xrightarrow{Channel}y(t)$$
狹義一點來說如圖：

通道為發送端到接收端之間經過的「傳遞媒介與過程」。
> Murmur今天不知道是怎樣上傳圖片都失敗到底是怎樣啊
# 通訊符號/訊號符號(Symbol)
> 為訊號經過調變之後，傳輸一次時的一個「波型單位」。舉例，如果我們今天要發送一串為「1011」的訊號，則一個訊號符號可以視為我們發送一次訊號時一段完整的「1011」的波型。
後續也常見使用訊號符號來舉例調變或是訊號互相影響之類的各種現象對於訊號的影響。
# 訊號傳輸舉例
當我們今天要傳送一段訊息$M$的時候，假設$M$為一段二進位碼1011總共4個位元(bit，一個位元即為二進位中的1位)，這一段訊息的總長度(位元數)可以表示成$b$，如下：
$$b=log_2(M)$$

而在每個通訊符號的週期(Symbol Period)內這段訊息都會被發射一次。
若我們要使用某個特定通道(頻道)內發送這段訊息，假設我們要在100Hz到200Hz這段頻率內傳送，而我們由於150Hz此時增益最大減損最小而使用150Hz的載波。此時我們可以將我們的原始訊息表示如下：
$$m_0=1,m_1=0,m_2=1,m_3=1$$

若我們的調變器如下：
$$x_i(t)=\bar{x}_icos(2\pi\cdot150\cdot t)$$

則我們可以知道發送的訊號實際上為(這邊如果訊息為1的訊號向量為1Volt，為0則為-1Volt)：
$x_0(t)=+cos(2\pi\cdot150\cdot t)$
$x_1(t)=-cos(2\pi\cdot150\cdot t)$
$x_2(t)=+cos(2\pi\cdot150\cdot t)$
$x_3(t)=+cos(2\pi\cdot150\cdot t)$

而當我們在每個通訊符號傳了$b$個位元則可以推斷說這段訊息總共有$M=2^b$種可能性，$M$種可能的向量集合$\{\vec{x}_i\}$則可以用 ** 訊號星座圖(Signal Constellation) **表示
> 關於訊號星座圖可以參考[Link](https://www.youtube.com/watch?v=kfJeL4LQ43s)
> 訊號星座圖常用於表示訊號、將訊號視覺化等

$$
# 收到了訊號，然後呢?
假設今天A跟B用無線電傳送一段訊號：「1011」，而B卻收到了「1000」那他該怎麼辦呢?
此時我們有兩種判斷接收到訊號怎麼去解讀的方法，而這兩個方法會應用到機率的概念來講解；分別是[最大概似估計ML](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E5%A4%A7%E4%BC%BC%E7%84%B6%E4%BC%B0%E8%AE%A1)與[最大事後機率MAP](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%90%8E%E9%AA%8C%E6%A6%82%E7%8E%87)。兩者我都先連結到維基百科了，但我還是會再寫一次解說，而下文中其他篇章提及時不會一直重提說明或理論。
假使今天我們傳輸錯誤訊息的機率是$p$，傳送對的訊息的機率是$1-p$；而我們傳送的訊息只有兩種，分別是$1$和$0$，那我們的可以把傳送的訊息表成下面：
設：
- 傳送的訊號： $( X \in \{0, 1\} )$
- 接收到的訊號： $( Y \in \{0, 1\} )$
- 錯誤率： $p$
- 正確率： $( 1 - p )$

則可定義條件機率分布為：

$$
P(Y|X) =
\begin{cases}
1 - p, & \text{當 } Y = X \\[6pt]
p, & \text{當 } Y \neq X
\end{cases}$$
### 通道轉移矩陣表示
$$P(Y|X) =
\begin{bmatrix}
P(Y=0|X=0) & P(Y=1|X=0) \\
P(Y=0|X=1) & P(Y=1|X=1)
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 - p & p \\
p & 1 - p
\end{bmatrix}$$
### 直觀說明

- 若傳送 **0**，則：
- 以機率 $1 - p$ 正確接收為 **0**；
- 以機率 $p$ 錯誤接收為 **1**。

- 若傳送 **1**，則：
- 以機率 $1 - p$ 正確接收為 **1**；
- 以機率 $p$ 錯誤接收為 **0**。
## 最大概似 (Maximum Likelihood, ML) 判斷

在 ML 判斷下，我們選擇使條件機率 \( P(Y|X) \) 最大的那個輸入訊號：

$\hat{X}_{ML} = \arg\max_{X \in \{0,1\}} P(Y|X)$

由二元對稱通道的定義：

$P(Y|X) =
\begin{cases}
1 - p, & \text{當 } Y = X \\[6pt]
p, & \text{當 } Y \neq X
\end{cases}$

因此：
- 若接收到 $Y = 0$，則：
$P(Y=0|X=0) = 1 - p, \quad P(Y=0|X=1) = p$
由於 $1 - p > p$，故判斷為 $\hat{X}_{ML} = 0$。

- 若接收到 $Y = 1$，則：
$P(Y=1|X=1) = 1 - p, \quad P(Y=1|X=0) = p$
同理，$\hat{X}_{ML} = 1$。

✅ **ML 判斷結果**：
$\hat{X}_{ML} = Y$
> 換句話說，在最大概似下，直接把接收到的訊號視為正確訊號。
## 最大後驗 (Maximum A Posteriori, MAP) 判斷

在 MAP 判斷下，我們選擇使後驗機率 $P(X|Y)$最大的輸入訊號：

$\hat{X}_{MAP} = \arg\max_{X \in \{0,1\}} P(X|Y)$

由MAP的公式中的後項可以由貝氏定理可得：

$P(X|Y) = \frac{P(Y|X) P(X)}{P(Y)}$

因為 $P(Y)$ 對於判斷是常數，可省略，得到：

$\hat{X}_{MAP} = \arg\max_{X \in \{0,1\}} P(Y|X) P(X)$

### 若假設輸入訊號等機率發生（即 $P(X=0) = P(X=1) = 0.5$)
此時 $P(X)$ 為常數，因此：

$\hat{X}_{MAP} = \arg\max_{X} P(Y|X)$

→ 與 **ML 判斷結果完全相同**

即：

$\hat{X}_{MAP} = \hat{X}_{ML} = Y$

> 這邊可以看到在1和0的錯誤機率相同的情況下判斷是相同的，但是當我們今天1的錯誤率與0不同時回發生什麼事呢?
### 若輸入訊號發生機率不相等（例如$P(X=1) > P(X=0)$）

則 MAP 判斷會考慮「先驗機率」，也就是：

$$
\hat{X}_{MAP} =
\begin{cases}
1, & \text{若 } P(Y|X=1) P(X=1) > P(Y|X=0) P(X=0) \\[6pt]
0, & \text{否則}
\end{cases}
$$

換句話說，若傳送「1」的機率較高，即使接收到的 \( Y \) 看起來像「0」，只要雜訊不太大，也可能仍然判斷為「1」。

### 三、總結比較

| 判斷方法 | 判斷依據 | 是否考慮先驗機率 | 判斷結果（若通道為 BSC 且均勻輸入） |
|:----------|:----------|:-----------------|:-----------------------------------|
| **ML (Maximum Likelihood)** | 最大化 $P(Y\|X)$ | ❌ 否 | $\hat{X} = Y$ |
| **MAP (Maximum A Posteriori)** | 最大化 $P(Y\|X)P(X)$ | ✅ 是 | 若 $P(X=0)=P(X=1)$，則 $\hat{X} = Y$ |

> 💡 **直覺理解**
> - ML 判斷：只看「哪個輸入在通道中更可能產生此輸出」
> - MAP 判斷：同時考慮「通道特性」與「輸入訊號原本的出現機率」
> - 當兩個訊號出現機率相同時，MAP = ML。
# 正交Orthogonality(形容詞：Orthogonal )& 正交規範性Orthonormal
這邊主要強調的是正交的性質，也就是訊號與訊號之間怎麼樣算是正交。
## 正交 Orthogonal
> 定義：架設今天有訊號 $\phi_1$ 和$\phi_2$，滿足在區間$[a,b]$
$$\langle {\phi_1,\phi_2} \rangle =\int^b_a \phi_1(t)\phi_2(t)dt=0 $$
> 或是直接計算
> $$\langle {\phi_1,\phi_2} \rangle =\int^{\infty}_{-\infty} \phi_1(t)\phi_2(t)dt=0 $$
## 正交規範性 Orthonormal
> 定義：除了滿足正交以外，$\phi_1$與$\phi_2$也需要同時滿足$\| \phi_1 \|=1$和$\|\phi_2\|=1$
要寫Orthogornal跟Orthonormal定義跟差別
計算時可以使用以下方式計算
$$\langle {\phi_1,\phi_1} \rangle =\int^{\infty}_{-\infty} \phi_1(t)\phi_1(t)dt=1 $$
$$\langle {\phi_2,\phi_2} \rangle =\int^{\infty}_{-\infty} \phi_2(t)\phi_2(t)dt=1 $$

## 舉例
今天有兩個訊號$\phi_1$和$\phi_2$，如下：
$$\phi_1(t)=
\begin{cases}
\sqrt{2}(\cos(2\pi t)) & \text{if} \space t \in [0,1] \\
0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

$$\phi_2(t) =
\begin{cases}
\sqrt{2} (\sin(2\pi t)) & \text{if } t \in [0, 1] \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}$$

可以觀察到在$[0,1]$以外沒有0以外的值，無須額外計算及可以知道在$[0,1]$以外的內積都是$0 \cdot 0 =0$。接著需要計算的就是在$[0,1]$的區間：
$$
\begin{split}
\langle \phi_1,\phi_2\rangle & = \int^1_0 \sqrt2 \cos(2\pi t)\sqrt2\sin(2 \pi t) dt
\\& =\int^1_0 \sin(4 \pi t)dt = -\frac{1}{4\pi}\lbrack \cos(4\pi t) \rbrack^1_0\\
& =-\frac{1}{4\pi}(1-1)=0 \end{split}
$$
那我們可以說$\phi_1$和$\phi_2$兩者正交，接著我們進一步討論這兩者算不算大便超人\$\text{Orthonormal}$?
這時需要計算的是大便量：(我省略了一些計算過程，重點是結果等於1)
$$
\begin{split}
\langle \phi_1,\phi_1\rangle & = \int^1_0 \sqrt2 \cos(2\pi t)\sqrt2\cos(2 \pi t) dt
\\& =\int^1_0 2\cos^2(2\pi t)dt \\ & = 2\int^1_0 \frac{1+\cos(4\pi t)}{2}dt=1
\end{split}
$$

$$
\begin{split}
\langle \phi_2,\phi_2\rangle & = \int^1_0 \sqrt2 \sin(2\pi t)\sqrt2\sin(2 \pi t) dt
\\& =\int^1_0 2\sin^2(2\pi t)dt \\ & = 2\int^1_0 \frac{1-\cos(4\pi t)}{2}dt=1
\end{split}
$$
由於$\phi_1$和$\phi_2$同時為正交也符合正交規範性。
# AWGN
# 無線電
# 調變
> 為什麼需要調變？
> 當你與他人對話時，你用嘴和聲帶傳遞訊號，對方用耳朵接收並用大腦理解。而使用機器時沒有那麼簡單，發射訊號的基地臺和負責接收的天線上會因材質、技術、環境等因素而有很大的差異；當今天為了廣播發送無線電訊號到一個很大的範圍時，基地臺的功率、發射訊號時的強度、頻率等等需要為了廣播到大範圍而特別調整過，發射端時發射的訊號使用了很長的天線，但接收的人可能拿的是收音機、手機、無線電等設備，不可能每個人都帶個幾公里長的天線到處走。因此訊號需要經過調整變成「發射端可以達到大範圍廣播，接收端可以用隨身裝置接收」的樣子。
> ### 調變器(Modulator)
> 調變器則是工程師們用來調變訊號的技術，會轉換離散數位訊號(像是一段文字)$\vec{x_i}$成一段**連續的類比訊號波$x_i(t)$**
## 能量
這邊要寫什麼是訊號的能量，以及如何計算
## 偵測器
當我們接收到訊號之後，要怎麼判斷我們收到了什麼訊號？想像一下玩畫畫接龍，第一個人拿到題目後開始會畫在傳給二個人畫直到給最後一個人猜原本的題目是什麼。通常到了第二或第三個人就會因為大家繪畫能力差異而使得圖片已經不再描繪原本的題目或偏題了。換到數位傳輸技術上，我們使用手上的無線電發送了一段訊號，在另一端的機器收到前在以電磁波傳輸時，可能遭遇到各種其他的電磁波雜訊干擾而使得原始訊號多了很多可能導致訊號被錯誤解讀的雜訊，那此時我們可以如何去解讀訊號好讓對方知道我們原本要說什麼呢？
### MAP(Maxium A Posteriori)
### ML(Maxium Likelihood)
## AWGN
> 從簡單的方式開始把訊號發射出去吧！
假設今天我們的左手有一臺發訊器要把一段「嗡嗡嗡」的訊號發射到右手上的接收器上，接收器收到了些微雜訊外訊。此時我們就可以用AWGN來描述這段訊號傳遞的過程。AWGN是最容易分析的雜訊模型。
## MAP
## ML
## 濾波器和性質
## 為什麼要濾波
## 決策邊界
### 決策邊界是什麼？
> 決策邊界可以是一條線上的某個點，或是一個面上的一條線(可以是直線也可以是曲線)、一個3D空間中的面(平面或曲面)甚至是多維空間中的超平面或是超曲面。
### 決策邊界可以做什麼？
> 以數線來說，0點讓線上可以分成正與負；二維空間用x軸和y軸可以把平面分成四個區塊(或稱四個象限)
> 決策邊界在數位傳輸技術上可以用於「判斷現在接收到的訊號值y原本應該是什麼x」
## 貝式定理Bayes Rule
這邊提及臂式定理的樹學表示法
這會在MAP那邊用到
## $ \forall $對於所有
> Latex表示
意思：對於所有
## AM
## FM
## PM
# 連續調變
# 訊號類別
## 類比
## 數位