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tags: c, double type, IEEE 754, jserv
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# IEEE 754複習、double與string
## 問題描述
今天看書遇到了有趣的程式如下：

#include <stdio.h>

void print_bytes(void* data, size_t length){
    char delim = ' ';
    unsigned char* ptr = data;
    for(size_t i = 0; i < length; i++){
        printf("%c 0x%x", delim, *ptr);
        delim = ',';
        ptr++;
    }   
    printf("\n");
}

int main(){
    int a = 9;
    double b = 18.9;
    print_bytes(&a, sizeof(int));
    print_bytes(&b, sizeof(double));

    return 0;
}

這程式的輸出是這樣的：
0x9, 0x0, 0x0, 0x0
0x66, 0x66, 0x66, 0x66, 0x66, 0xe6, 0x32, 0x40

第一個輸出沒有問題，就是一般的2補數。第二個輸出就百思不得其解，於是重新複習了一次IEEE754，也就是被規定的浮點數在電腦內部的儲存方式。

## 如何計算IEEE754
IEEE754分成三種：32bit、64bit、128bit，不管那一種，都分成三塊：
sign bit、exponent、mantissa(簡稱S, E, M)


不同的bit數，E跟M所佔的長度也不同。
32bit底下，E佔8bit，M佔23bit；
64bit底下，E佔11bit，M佔52bit；
128bit底下，E佔15bit，M佔112bit。

現在就來針對64bit底下，如何計算IEEE754作說明，以程式中的18.9為例。

18可以寫成10010，至於0.9要寫成二進位，可以想想看：
0.9 \* 2 = 1.8
0.8 \* 2 = 1.6
0.6 \* 2 = 1.2
0.2 \* 2 = 0.4
0.4 \* 2 = 0.8
0.8 \* 2 = 1.6
...
上面的算式，先把0.9乘以2，得到小數點左邊結果為1，右邊結果為0.8。再把 0.8乘以2，得到小數點左邊結果為1，右邊結果為0.6，再把右邊結果乘以2一直循環，直到發現重複為止。把乘以2結果的小數點左邊擷取下來，就是答案。所以，0.9寫成二進位是111001100(之後一直1100循環)。
所以，18.9 =
$$(10010.111001100110011001100110011001100110011001100110)_2
=(1.0010111001100110011001100110011001100110011001100110)_2 * 2^4 $$

=

$$ (1.0010111001100110011001100110011001100110011001100110)_2 * 2^{1027-1023} $$

1023是bias，1027二進位是10000000011，就是E的部份。而M的部份，就是小數點右邊的數字。

所以18.9的二進位IEEE754表示法是
0100000000110010111001100110011001100110 0110011001100110 01100110
寫成16進位(注意第一位sign bit不要算進去)就是
0x4032E66666666666
而因為執行的電腦是little endian，所以最高位byte放在最高位記憶體位址，所以看起來是反的(最高位byte我們會寫在最左邊，最高位記憶體位址會在最右邊)。

## double 與 string

以下，討論jserv的[2018q1 第 5 週測驗題 (中)](https://hackmd.io/@jserv/HkQjgqI5G?type=view)。

既然是二進位，那麼應該能轉成字串，我們修改一下print bytes函式:

#include <stdio.h>

void print_bytes(void* data, size_t length){
    char delim = ' ';
    unsigned char* ptr = data;
    for(size_t i = 0; i < length; i++){
        printf("%c 0x%x", delim, *ptr);
        delim = ',';
        ptr++;
    }
    printf("\n");
    ptr = data;
    for(size_t i = 0; i < length; i++){
        putchar(*ptr);
        ptr++;
    }
    printf("\n");
}

int main(){
    int a = 9;
    double b = 18.9;
    double c[] = { 3823806048287157.0, 96 };
    
    print_bytes(&a, sizeof(int));
    print_bytes(&b, sizeof(double));
    print_bytes(&c, sizeof(c));

    return 0;
}

我們修改了print_bytes，使得除了byte以外還可以輸出byte代表的文字。這次，我們把注意力集中在main裡宣告的新陣列c。

如果執行程式，`print_bytes(&c, sizeof(c));`這行實際的輸出會是

0x6a, 0x73, 0x65, 0x72, 0x76, 0x2b, 0x2b, 0x43, 0x0, 0x0, 0x0, 0x0, 0x0, 0x0, 0x58, 0x40

以及

jserv++CX@

可以發現6a對應j，73對應s...以此類推，而0x0會被省略不印。

至於0x6a, 0x73, 0x65, 0x72, 0x76, 0x2b, 0x2b, 0x43其實就是3823806048287157.0(以後簡稱為`c0`)的IEEE754表示法(little endian)，其實就是0x432b2b767265736a。

從剛剛`如何計算IEEE754`的說明，其實可以知道2進位的前11位，也就是16進位的前三位--0x432，掌管了指數的部分。如果我們把c0乘以2，對電腦來說，就只是把0x432+1 = 0x433，其他bit不變。

所以c0乘以2後，c0的byte如下:
0x6a, 0x73, 0x65, 0x72, 0x76, 0x2b, 0x3b, 0x43

也就是倒數第2個byte由2b變3b，3b在ascii表示`;`，所以字串會變成`jserv+;C`。

好，如果想把最後一個英文字母變成D，代表我們只能動到0x43這個byte。我們已經知道0x43是C，0x44是D，這代表著，我們需要把代表指數的0x432變成0x442。每乘一次2，指數就會加1，所以，我們要把`c0`乘以$2^{16}$，指數才會加16。

所以回到2018q1 第 5 週測驗題 (中)，程式碼是

#include <stdio.h>
double m[] = { 3823806048287157.0, 96 };
void gen() {
    if (m[1]--) {
        m[0] *= 2;
        gen();
    } else
        puts((char *) m);
}
int main() { gen(); return 0; }

其實代表了`c0`乘上了$2^{96}$，所以0x432+96 = 0x432+0x60 = 0x492，0x49就是I，所以答案是jserv++I。

也可以把96換成別的數字實驗看看。

## Reference
[IEEE 754 - Standard binary arithmetic float](http://www.softelectro.ru/ieee754_en.html)
[IEEE 754標準中文介紹](http://ieee-754.blogspot.com)
[網頁板的32bit IEEE 754轉換](https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html)
[網頁板的64bit IEEE 754轉換](http://www.binaryconvert.com/convert_double.html?)
[解釋如何轉換--1](https://stackoverflow.com/questions/39840400/view-double-variable-in-memory)
[解釋如何轉換--2](https://blog.xuite.net/mangohost/wretch/123102638-[轉載]用IEEE+754表示浮點數)
[解釋如何轉換--3](http://jmiiv.blogspot.com/2008/08/ieee-754.html)
[float跟double的差別](https://reurl.cc/e5lqLL)
[2018q1 第 5 週測驗題 (中)](https://hackmd.io/@jserv/HkQjgqI5G?type=view)