# 集団免疫戦略メモ
# SIR モデル（無次元版）
- $\tau$: 平均感染期間を1単位とする時間
- $R_{0}$: 基本再生産数
- $S(\tau)$, $I(\tau)$, $U(\tau)$ : 時刻$\tau$ における未感染者数，感染者数，回復者数．
- 系のダイナミクス：
$$
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{\tau}} &= - R_{0}S(\tau) I(\tau)
\\
\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{\tau}} &= \left\{R_{0}S(\tau) -1\right\}I(\tau)
\\
\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{\tau}} &= I(\tau)
\end{align}
$$

系のダイナミクスより，
$$
\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}S} = -\frac{1}{R_{0}S(\tau)}
$$
が成り立つから，初期状態を$(S_{0}, U_{0})$ とすると，$S < S_{0}$に対する$U$は，以下の式で求められる：
$$
\begin{align}
U &= U_{0} - \int_{S_{0}}^{S}\frac{1}{R_{0}\omega} \mathrm{d} \omega
\\
&= U_{0} - R_{0}^{-1} \ln S + R_{0}^{-1} \ln S_{0}
\end{align}
$$
この式は，以下のように整理しておくと便利である．
$$
\begin{equation}
U + R_{0}^{-1} \ln S = U_{0} + R_{0}^{-1} \ln S_{0}
\tag{1}
\end{equation}
$$

# 最終規模方程式
十分な時間が経過すれば$I(\tau) = 0$ となるから，式(1)に$S = 1-U$を代入すれば，最終規模方程式：
$$
U^\infty + R_{0}^{-1} \ln (1-U^{\infty}) = U_{0} + R_{0}^{-1} \ln S_{0} \tag{2}
$$
を得る．

*Controlled Herd Immunity* (CHI) 戦略において，活動群内で集団免疫を獲得する（活動制限を解除する）時刻を$\tau^{\ast}$ とし，当該時刻における系の状態を$S^{\ast}, I^{\ast}, U^{\ast}$で表す．
このtき，感染者数は容量に等しく（$I^{\ast} = I_{c}$），未感染者数は基本再生産数の逆数に等しい（$S^{\ast} = R_{0}^{-1}$）[^1]から，時刻$\tau^{\ast}$における回復者数は，以下の式で表される：
$$
U^{\ast} = 1 - R_{0}^{-1} - I_{c}
$$

$(S_{0}, U_{0}) = (S^{\ast}, U^{\ast})$ を最終規模方程式(2)に代入すれば，
$$
U^{\infty} + R_{0}^{-1} \ln (1-U^{\infty}) = 1 - R_{0}^{-1} - I_{c} + R_{0}^{-1} \ln R_{0}^{-1}
$$
を得る．これを整理すれば，CHI戦略下での最終規模方程式：
$$
U^{\infty} = 1 - R_{0}^{-1} - I_{c} + R_{0}^{-1} \ln \frac{R_{0}^{-1}}{1-U^{\infty}} \tag{3}
$$
を得る．なお，活動群が集団免疫を獲得した時点$\tau^{\ast}$からの回復者の増分を$A = U^{\infty} - U^{\ast}$とすれば，$1-U^{\infty} = 1-A-U^{\ast} = R_{0}^{-1} + I_{c}-A$より，$A$についての最終規模方程式：
$$
A = - R_{0}^{-1} \ln \frac{R_{0}^{-1} + I_{c} - A}{R_0^{-1}}
$$
も得られる．

[^1]: 集団免疫を獲得するのは，実効再生産数$R(t) = R_{0} S(t) = 1$となるときだから，$S(\tau^{\ast}) = R_{0}^{1}$.

# $I_{\rm min}$, $I_{\rm peak}$, $I_{\rm max}$
規模$n = 1/N \in [0, 1]$の活動群のみで集団免疫$p_{0}^{\ast} = (1 - R_{0}^{-1})N$を獲得するため必要となる感染者容量$I_{\rm min}$ は以下の式で求められる：
$$
I_{\rm min} = -\frac{1-n}{n}\left(1-R_{0}^{-1}\right)-R_{0}^{-1}\ln\left( \frac{1-(1-n)R_{0}}{n} \right)
$$

活動制限を行わない場合，基本再生産数$R_{0}$における単位規模集団のピーク時感染者数は
$$
I_{\rm peak} = 1 - R_{0}^{-1} + R_{0}^{-1} \ln R_{0}^{-1}
$$
である．

年代別の感染者容量$I_{\rm max}$ は，感染重症化率$\sigma$や感染病床数$\mu$によって決定される．
| | case 1| case 2 | case 3| case 4|
|--|--|--|--|--|
|年代|<50|<55|<60|<65|
|$N$|1.90|1.68|1.52|1.40|
|$\sigma$|0.21%|0.28%|0.33%|0.40%|
|$I_{\max}$ | 0.223| 0.149|0.115|0.087|

これらを組み合わせれば，下記のような図がプロットできる：
プロットためのコードはこちら（warningが出るが気にしない）：
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