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tags: MTNS-2022, lecture, linear programming
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# 2022年度 交通社会システム論<br>Report #2: ピボット演算解答例

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## 課題 | Exercise
リア充問題(主問題)の**等式標準形**の辞書に対して，以下の**ピボット演算** を ==順に== 行え．
For the standard equality form of the Mr. Adam's happiness maximization problem, perform the following pivot operations in order:

1． **説明変数** $x_{1}$ と **被説明変数** $r_{1}$ を入れ替える (pivot $x_{1}$ and $r_{1}$)．
2． **説明変数** $x_{2}$ と **被説明変数** $r_{3}$ を入れ替える (pivot $x_{2}$ and $r_{3}$).
3． **説明変数** $r_{1}$ と **被説明変数** $r_{2}$ を入れ替える (pivot $r_{1}$ and $r_{2}$).

## 1. **説明変数** $x_{1}$ と**被説明変数** $r_{1}$ を入れ替える | Pivot $x_{1}$ and $r_{1}$
$$
\begin{align}
\begin{array}{c|cc|c}
& \color{red}{x_{1}} & x_{2} & -1\\
\hline
\color{red}{-r_{1}}& \color{red}{1^{\ast}} & 1 & 8\\
-r_{2} & -2& 1 & 2\\
-r_{3}& 2 & 3 & 18\\
\hline
-z & -1 & -2& 0
\end{array}
&\Rightarrow
\begin{array}{c|cc|c}
& \color{red}{r_{1}} & x_{2} & -1\\
\hline
\color{red}{-x_{1}}& 1/1 & \frac{1}{1} & \frac{8}{1}\\
-r_{2} & -\frac{(-2)}{1}& 1-\frac{1\times(-2)}{1} & 2-\frac{8\times(-2)}{1}\\
-r_{3}& -\frac{2}{1} & 3-\frac{1\times{}2}{1} & 18-\frac{8\times 2}{1}\\
\hline
-z & -\frac{(-1)}{1} & -2-\frac{1\times(-1)}{1}& 0-\frac{8\times(-1)}{1}
\end{array}
\\
&\Rightarrow
\begin{array}{c|cc|c}
& \color{red}{r_{1}} & x_{2} & -1\\
\hline
\color{red}{-x_{1}} & 1 & 1 & 8\\
-r_{2} & 2& 3 & 18\\
-r_{3}& -2 & 1 & 2\\
\hline
-z & 1 & -1 & 8
\end{array}
\end{align}
$$

## 2. **説明変数** $x_{2}$ と**被説明変数** $r_{3}$ を入れ替える | Pivot $x_{2}$ and $r_{3}$
$$\begin{align}
\begin{array}{c|cc|c}
& r_{1} & \color{red}{x_{2}} & -1\\
\hline
-x_{1} & 1 & 1 & 8\\
-r_{2} & 2& 3 & 18\\
\color{red}{-r_{3}}& -2 & \color{red}{1^{\ast}} & 2\\
\hline
-z & 1 & -1 & 8
\end{array}
&\Rightarrow
\begin{array}{c|cc|c}
& r_{1} & \color{red}{r_{3}} & -1\\
\hline
-x_{1} & 1-\frac{(-2)\times 1}{1} & -\frac{1}{1} & 8 - \frac{2\times 1}{1}\\
-r_{2} & 2-\frac{(-2)\times 3}{1}& -\frac{3}{1} & 18- \frac{2\times 3}{1}\\
\color{red}{-x_{2}}& \frac{-2}{1} & \frac{1}{1} & \frac{2}{1}\\
\hline
-z & 1-\frac{(-2)\times(-1)}{1} & -\frac{(-1)}{1} & 8- \frac{2\times(-1)}{1}
\end{array}
\\
&\Rightarrow
\begin{array}{c|cc|c}
& r_{1} & \color{red}{r_{3}} & -1\\
\hline
-x_{1} & 3 & -1 & 6\\
-r_{2} & 8 & -3 & 12\\
\color{red}{-x_{2}}& -2 & 1 & 2\\
\hline
-z & -1 & 1 & 10
\end{array}
\end{align}
$$
## 3. **説明変数** $r_{1}$ と**被説明変数** $r_{2}$ を入れ替える | Pivot $r_{1}$ and $r_{2}$
$$\begin{align}
\begin{array}{c|cc|c}
& \color{red}{r_{1}} & r_{3} & -1\\
\hline
-x_{1} & 3 & -1 & 6\\
\color{red}{-r_{2}} & \color{red}{8^{\ast}} & -3 & 12\\
-x_{2}& -2 & 1 & 2\\
\hline
-z & -1 & 1 & 10
\end{array}
&\Rightarrow
\begin{array}{c|cc|c}
& \color{red}{r_{2}} & r_{3} & -1\\
\hline
-x_{1} & -\frac{3}{8} & -1-\frac{(-3)\times 3}{8} & 6-\frac{12\times 3}{8}\\
\color{red}{-r_{1}} & \frac{1}{8} & \frac{-3}{8} & \frac{12}{8}\\
-x_{2}& -\frac{(-2)}{8} & 1-\frac{(-3)\times(-2)}{8} & 2 - \frac{12\times(-2)}{8}\\
\hline
-z & -\frac{(-1)}{8} & 1-\frac{(-3)\times(-1)}{8} & 10 - \frac{12\times(-1)}{8}
\end{array}
\\
&\Rightarrow
\begin{array}{c|cc|c}
& \color{red}{r_{2}} & r_{3} & -1\\
\hline
-x_{1} & -\frac{3}{8} & \frac{1}{8} & \frac{3}{2}\\
\color{red}{-r_{1}} & \frac{1}{8} & \frac{-3}{8} & \frac{3}{2}\\
-x_{2}& \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 5\\
\hline
-z & \frac{1}{8} & \frac{5}{8} & \frac{23}{2}
\end{array}
\end{align}
$$