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# System prepended metadata

title: 終点到着時刻ベースのDUE定式化の疑問点

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\newcommand{\ClT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\ODF}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d}#2}}
$$

# 終点到着時刻ベースのDUE定式化の疑問点
1対の起終点ノード・ペア$(o, d)$を結ぶ1本のリンクを考え，その自由走行時間を$c$，容量を$\bar{\mu}$とする．時計時刻での分析期間を$\ClT=[0, T]$とする．$T>0$は所与の定数とする．時刻$\tau$に終点に到着する利用者のスケジュール費用(遅刻・早着ペナルティ)を所与の関数$\Psi(\tau)$で表す．

時計時刻$\tau \in \ClT$におけるボトルネックへの累積流入量および累積流出量を，それぞれ，$A(\tau)$および$D(\tau)$で表す．時計時刻$\tau$における単位時間あたりの流入量(流入フロー)および流出量(流出フロー)を，それぞれ，$\lambda(\tau) = \ODF{A(\tau)}{\tau}$および$\mu(\tau) = \ODF{L(\tau)}{\tau}$で表す．

時刻$\tau$におけるボトルネックの待ち行列長を$x(\tau) = A(\tau)-D(\tau)$で表す．そのダイナミクスは
$$
\ODF{x}{\tau} = \lambda(\tau) - \mu(\tau)
$$
で表される．全ての車両は，可能な限り最大の流出量でボトルネックを通過するものと仮定する．このとき，下記の NVH(*no vehicle-holding*)条件が成立する：
$$
\begin{cases}
x(\tau) > 0 & \rightarrow \mu(\tau) = \bar{\mu} \\
x(\tau) = 0 & \leftarrow \mu(\tau) < \bar{\mu}
\end{cases}
$$
Point-queueモデルを仮定し，待ち行列待ち時間が$w(\tau) = x(\tau)/\bar{\mu}$で表されるとする．

Suppose a single capacitated link connecting the origin node 1 and the destination node 0. The free-flow travel and the bottleneck capacity of the link are denoted by $c$ and $\bar{\mu}$, respectively.

Let $\mathcal{U}$ be the set of destination arrival time. Let $Q(u)$ be the cumulative demand at $u \in \mathcal{U}$ (i.e. the number of users arriving to the destinationby $u$), and its derivative:
$$
q(u) = \frac{{\mathrm d} Q(u)}{{\mathrm d} u}
$$
be the demand flow.

We refer a user who arrives to the destination at $u \in \mathcal{U}$ to as "user $u$".
For user $u$, we denote the queuing time and travel time of the user by $w(u)$ and $\pi(u)$, respectively.


$\{Q(u): u \in \mathcal{U}\}$ be the e demand pattern. $Q(u)$ 
- $\mathcal{U}$ : set of destination arrival time;
- $Q_{i}(u)$ : cumulative demand 
- $q_{i}(u)$: demand (users per from node $i$ of user $u \in \mathcal{U}$;
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