# CoVid-19制御モデル
## 最適制御モデル
無限期間$[0, \infty]$における割引済み活動水準最大化問題は，以下のように定式化できる：
$$
\begin{align}
\max_{\left\{\alpha(t) \in [0, 1]: t \in [0, \infty)\right\}} &
\int_{0}^{\infty} e^{-\rho t} \alpha_t \mathrm{d}t \\
\text{Sub to.} \quad
& \frac{\mathrm{d}S_t}{\mathrm{d}t}
= - R_{0} \alpha_t S_t I_t \\
& \frac{\mathrm{d}I_t}{\mathrm{d}t}
= \left(R_{0} \alpha_t S_t - 1\right)I_t \\
& I_t \leq I_{\max} \quad \forall t \in [0, T]
\end{align}
$$

Value function:

$$
\begin{align}
V(t, S, I) &=
\max_{\left\{\alpha(t) \in [0, 1]: s \in [t, \infty)\right\}}
\int_{t}^{\infty} e^{-\rho(s-t)}\alpha_s \mathrm{d}s \\
\\&= \max_{\alpha\in [0, 1]} \alpha
\mathrm{d} t + (1-\rho \mathrm{d}t) V\left(t + \mathrm{d}t,
S + \mathrm{d}S,
I + \mathrm{d}I
\right)
\\
&= \max_{\alpha \in [0, 1]} \alpha \mathrm{d}t +
V(t, S, I) - \rho V(t, I, S) \mathrm{d} t +
\frac{\partial V}{\partial t} \mathrm{d} t \\&\qquad+
\frac{\partial V}{\partial S} \mathrm{S} t +
\frac{\partial V}{\partial I} \mathrm{I} t + o(\mathrm{d}t)
\\
&= \max_{\alpha\in [0, 1]} \alpha \mathrm{d}t +
V(t, S, I) - \rho V(t, I, S) \mathrm{d} t +
\frac{\partial V}{\partial t} \mathrm{d} t \\
&\qquad +
\frac{\partial V}{\partial S}
\left(- R_{0} \alpha_t S I\right) \mathrm{d}t + \frac{\partial V}{\partial I}
\left(R_{0} \alpha S - 1\right)I
\mathrm{d}t + o(\mathrm{d}t)
\end{align}
$$ここで，$o(\mathrm{d}t)$は$\lim_{\mathrm{d}t\rightarrow0} \frac{o(\mathrm{d}t)}{\mathrm{d}t}=0$となるオーダーの項である．

両辺を整理して$\mathrm{d}t$で除した後，$\mathrm{d}t \rightarrow 0$ の極限を取れば，
以下のHJB (Hamilton-Jacobi-Bellman) 方程式を得る：
$$
\max_{\alpha\in [0, 1]} \frac{\partial V}{\partial t} +
\alpha
\left\{
\frac{\partial V}{\partial I} - \frac{\partial V}{\partial S}
\right\}R_{0} S I -
\frac{\partial V}{\partial I} I - \rho V + \alpha = 0.
$$HJB方程式の左辺は$\alpha$について線形であり，その係数は
$$\begin{equation}
\eta(t, I, S) =
\left\{
\frac{\partial V}{\partial I} - \frac{\partial V}{\partial S}
\right\}R_{0} S I + 1
\end{equation}$$である．$\eta \geq 0$ならば，最適活動水準$\alpha^\ast$は医療容量制約を満たす中で最大のものに等しい．逆に，$\eta < 0$ならば$\alpha^{\ast} = 0$である．
したがって，最適制御は
$$
\alpha_{t}^{\ast} = \begin{cases}
1 & \text{if } \eta(t, I, S) \geq 0 \text{ and } I_t < I_{\max} \\
\frac{1}{R_{0} S_{t}} &\text{if } \eta(t, I, S) \geq 0 \text{ and } I_{t} = I_{\max} \\
0 & \text{if } \eta(t, I, S) < 0
\end{cases}
$$と表せる．直感的に$\alpha_{t}^{\ast} = 0$になることはないので，$\eta(t, I, S) \geq 0$と仮定して分析することにする．