# 流体円盤における分散関係(dispersion relation)
Galactic Dynamics(B.Tremaine)p488~ 羽部先生講義22/05/19
$(\omega-m\Omega)^2=\kappa^2-2\pi G \Sigma_0 |k|+v_s^2 k^2$
$=v_s^2(k-\frac{\pi G \Sigma}{v_s^2})^2+\kappa^2-\frac{(\pi G \Sigma)^2}{v_s^2}\quad$(1)

$v_s$は音速、$m$はモードを表す整数、$G$は重力定数、$\Sigma$は円盤の面密度、$\kappa$はepicycle frequency
ここで[リンドブラッド共鳴](https://hackmd.io/41h-KpKFQr2nZPI3Cz6PBg?view)より
$\kappa^2=\left(R\frac{d\Omega^2}{dR}+4\Omega^2\right)\quad$(2)

Toomre不安定性の指標として、Toomre Q valueを次式で定義
$Q=\frac{\kappa v_s}{\pi G \Sigma}\quad$(3)
Toomre 不安定となるような k が存在する条件は、式 (1) の右辺第２項が負となること。
これは Q 値を用いて以下のように表せる。
$\kappa^2 \left( 1-\frac{1}{Q^2} \right)<0\quad$(4)
従って$Q<1$であればToomre不安定。
最も不安定となるのは(1)式の右辺第１項が０のとき、すなわち波数 k が以下の値のとき
$k=k_{max}=\frac{\pi G\Sigma}{v_s^2}\quad$(5)
このときの波長は
$\lambda_{min}=\frac{2\pi}{k_{max}}=\frac{2v_s^2}{G\Sigma}\quad$(6)
最も不安定なときの質量は
$M_{kmax}=\pi\Sigma(\frac{\lambda_{max}}{2})^2=\frac{\pi v_s^4}{G^2\Sigma}\quad$(7)

また不安定な波数の範囲は、(1)式が負である範囲なので、(1)=0をkについて解いて
$k=\frac{\pi G\Sigma\pm\sqrt{(\pi G\Sigma)^2-\kappa^2 v_s^2}}{v_s^2}=k_{max}\pm \frac{\kappa}{v_s}\sqrt{|\frac{1}{Q^2}-1|}$
$k_{max}-\frac{\kappa}{v_s} \sqrt{|1-\frac{1}{Q^2}|} < k < k_{max}+\frac{\kappa}{v_s} \sqrt{|1-\frac{1}{Q^2}|}\quad$(8)
となり、不安定な波長の範囲は
$2\pi/\left(k_{max}+\frac{\kappa}{v_s} \sqrt{|1-\frac{1}{Q^2}|}\right) < \lambda < 2\pi/\left(k_{max}-\frac{\kappa}{v_s} \sqrt{|1-\frac{1}{Q^2}|}\right)\quad$(9)
となる。

一例として、$t=500Myr$付近、$R=1kpc=3\times10^{16}km$近傍における安定性を考える。
$\Omega=v/R=200(km/s/kpc)=200(km/s)/3\times10^{16}km=6.7\times10^{-15}s^{-1}$
$\kappa=400(km/s/kpc)$(グラフより)
$=4\times10^7(cm/s)/3\times10^{21}(cm)=1.3\times10^{-14}s^{-1}$
$v_s=1km/s$

水素原子1個の質量$m_H=1.67\times10^{-24}g$
<img src="https://i.imgur.com/79k9eaB.png" width="40%"><img src="https://i.imgur.com/vbqvNAH.png" width="60%">

楕円(large)領域の面積$S_{large}=\pi ab=\pi(1.2*0.8)(kpc^2)=3.0kpc^2=2.9\times10^{43}cm^2$
楕円(large)領域の質量$M_{large}\sim1\times10^8M_{\odot}=2\times10^{41}g$
楕円(large)領域の面密度 $\Sigma_{large}=6.9\times10^{-3}g/cm^2$
万有引力定数$G=6.7\times10^{-8}cm^3/gs^2$
$v_s=1km/s=10^5cm/s$としたときのQ値
$Q=\frac{\kappa v_s}{\pi G \Sigma}=1.3\times10^{-9}/1.45\times10^{-9}=0.90<1$
となって不安定
$(\omega-m\Omega)^2$が最小となるのは
$k_{max}=\frac{\pi G \Sigma}{v_s^2}=1.45\times10^{-19}$
$\lambda_{min}=\frac{2\pi}{k}=4.3\times10^{19}cm=14.3pc$

ring領域の面積$S_{ring}=\pi(1.2*0.8-0.6*0.4)(kpc^2)=2.3kpc^2=2.2\times10^{43}cm^2$
ring領域の質量$M_{ring}\sim8\times10^7M_{\odot}=1.6\times10^{41}g$
ring領域の面密度 $\Sigma_{ring}=7.3\times10^{-3}g/cm^2$
$v_s=1km/s=10^5cm/s$としたときのQ値
$\frac{\kappa v_s}{\pi G \Sigma}=1.3\times10^{-9}/1.54\times10^{-9}=0.84<1$
となって不安定
$(\omega-m\Omega)^2$が最小となるのは
$k_{max}=\frac{\pi G \Sigma}{v_s^2}=1.54\times10^{-19}cm^{-1}$
$\lambda_{min}=\frac{2\pi}{k}=4.1\times10^{19}cm=13.7pc$

またこのとき、
$\frac{\kappa}{v_s}=400kpc^{-1}=0.4pc^{-1}$
$\frac{1}{Q^2}-1 = 0.417$
$\frac{\kappa}{v_s}\sqrt{❘\frac{1}{Q^2}-1|}=0.258pc^{-1}=8.36\times10^{-20}cm^{-1}$
(8)式より不安定となる波数$k$の範囲は
(誤)~~$1.46\times10^{-19}cm^{-1}<k<1.62\times10^{-19}cm^{-1}$~~
**$0.70\times10^{-19}cm^{-1}<k<2.38\times10^{-19}cm^{-1}$**
(9)式より不安定となる波長$\lambda$の範囲は
(誤)$3.89\times10^{19}cm<\lambda<4.30\times10^{19}cm$
$2.64\times10^{19}cm<\lambda<8.97\times10^{19}cm$
(誤)$12.6pc<\lambda<13.9pc$
$8.6pc<\lambda<29.1pc$