三角的公式

• 前言:三角的世界中有許多的公式，將其慢慢整理，複習時一目了然
  
  • 三角的公式
    • 中線定理

中線定理

• 說明:

  $D\mathrm{為}\overline{AB}$之中點，則
  $a^2+b^2=2(d^2+f^2)$

• 由於

  $L^A{T}_{E}X$語法不支援向量，故本筆記中若出現向量將特別說明。以下的箭頭皆為向量

• 證明:
  

  $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA})+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB})$
  
  $|\overrightarrow{CA}{|}^2+|\overrightarrow{CB}{|}^2=|(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}){|}^2+|(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}){|}^2$
  
  $\begin{array}{rl}|\overrightarrow{CA}{|}^2+|\overrightarrow{CB}{|}^2=& |\overrightarrow{CD}{|}^2+|\overrightarrow{DA}{|}^2+\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{DA}\\ +& |\overrightarrow{CD}{|}^2+|\overrightarrow{DB}{|}^2+\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{DB}\end{array}$
  又
  $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{DB},\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{DB}=0$
  
  $\therefore |\overrightarrow{CA}{|}^2+|\overrightarrow{CB}{|}^2=2(|\overrightarrow{CD}{|}^2+|\overrightarrow{DB}{|}^2)$
  
  $\Rightarrow a^2+b^2=2(d^2+f^2)$