多項式

• 多項式
  • 多項式求和
  • 給定特定項次之值，反推原多項式

多項式求和

• 題目敘述:設多項式
  $\begin{array}{rl}f(x)=& (x+9{)}^5-4(x+9{)}^4-72(x+9{)}^3-56(x+9{)}^2+15(x+9)+7\\ =& a(x-1{)}^5+b(x-1{)}^4+c(x-1{)}^3+d(x-1{)}^2+e(x-1)+f\end{array}$
• 求
  $a+b+c+d+e+f\mathrm{之}\mathrm{值}$
• 想法:
  $x=2\mathrm{代}\mathrm{入}\mathrm{即}\mathrm{可}$
• 題解:
  
  $\begin{array}{rl}f(2)=& {11}^5-4\times {11}^4-72\times {11}^3-56\times {11}^2+15\times 11+7\\ =& a+b+c+e+d\\ =& 51\end{array}$
  
  $Ans.51$

給定特定項次之值，反推原多項式

• 題目敘述:
  $\mathrm{有}\mathrm{一}\mathrm{四}\mathrm{次}\mathrm{多}\mathrm{項}\mathrm{式}f(x),\mathrm{滿}\mathrm{足}f(1)=f(2)=f(3)=113,$
  $f(4)=f(5)=17,$求
  $f(x)\mathrm{之}\mathrm{常}\mathrm{數}\mathrm{項}$
• 想法:令
  $h(x)=f(x)-113$
• 題解:
  
  $deg(f(x))=4,deg(h(x))=4,\mathrm{又}h(1)=h(2)=h(3)=0$
  
  $\mathrm{設}h(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(ax+b),h(4)=h(5)=17$
  
  $\mathrm{整}\mathrm{理}\mathrm{可}\mathrm{得}$