題目

1. 假設$a,b\in \mathbb{R}$，以下敘述哪些正確？如果錯誤，請舉出反例
   A.若$a+b\in \mathbb{Q}$，則$a\in \mathbb{Q}$且$b\in \mathbb{Q}$
   B.若$ab\in \mathbb{Q}$，則$a\in \mathbb{Q}$且$b\in \mathbb{Q}$
   C.若$ab\in \mathbb{Q}$，則$a\in \mathbb{Q}$且$b\in \mathbb{Q}$
   D.若$a^b\in \mathbb{Q}$，則$a\in \mathbb{Q}$且$b\in \mathbb{Q}$

2. 請比較$\sqrt{4}+\sqrt{6}$、$\sqrt{3}+\sqrt{8}$的大小

3. 已知$x>0,y>0,x^2+y^2=5,x+y=3$，請問$x,y$是多少

4. 有一半徑為2的圓圓心落在$(5,12)$，請問此圓上有幾個點與直線$x+2y=2$距離為整數？

5. 若$a={\log }_{2}3、b={\log }_{2}5，\mathrm{求}{4}^{a+b+1}$

6. 求在${\log }_{9}1、{\log }_{9}2、{\log }_{9}3、...、{\log }_{9}2020$之中所有的有理數$\mathbb{Q}$之和

7. 求${\frac{1}{49}}^{{\log }_7\frac{2}{3}}+3^{\frac{1}{{\log }_{5}3}}+\log \sqrt[4]{1000}$

8. 若$2^{31}$介於${10}^a$到${10}^{a+1}$之間，求$a$

9. 有一種神奇的植物每天會成長直至重量為原本的兩倍，第一天有500公克，小明從第一天開始每天拿100公克當食物。請問：過了十天之後這個植物有多少公克？（過十天之後指的是小明在第十天吃完之後，第11天還沒到）

10. 假設一發飛彈的命中率為60%，至少要發射幾發才可以有超過99%的機率至少命中一發？

11. 設 ${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta =1$,求下列各值

    • $\sin \theta +\cos \theta$
    • ${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta$

12. 若$a^2+b^2=1$，請問$2a+b$的最小值為何