三角比結合乘法公式

• 三角比結合乘法公式
  • 題目敘述:
    • 子題組1
    • 子題組2
  • 證明

題目敘述:

• 設
  ${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta =1$,求下列各值
  • $\sin \theta +\cos \theta$
  • ${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta$
• 想法:出現了
  $a^3+b^3$以及三角比，可以利用三角比得到更多
  $a$和
  $b$的關係，再利用乘法公式解題

子題組1

• $\sin \theta +\cos \theta =?$
• 想法:將乘法公式結合三角比的關係進行運算
• 題解:
  為書寫方便，我們先假設
  $a=\sin \theta ,b=\cos \theta ,t=\sin \theta +\cos \theta$
  
  $a^2+b^2=0,a\times b=\frac{t^2-1}{2}$(證明
  $P1$)
  又
  $a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$(證明
  $P2$)
  接下來依次帶入得
  $a^3+b^3=t^3-\frac{t^2-1}{2}\times t=1$
  整理
  $t^3-3t+2=0$，觀察可以發現t=1為其中一解
  
  $t^3-3t+2=(t-1{)}^2(t+2),t=1\vee -2(\mathrm{不}\mathrm{合})$
  
  $Ans.\sin \theta +\cos \theta =1$

戴偉璿Sun, Jan 23, 2022 11:29 PM

子題組2

• ${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta =?$
• 想法:將子題組1的結果帶入進行運算
• 題解:
  設
  $a=\sin \theta ,b=\cos \theta ,t=\sin \theta +\cos \theta$
  由子題組一，我們知道
  $a+b=1,a\times b=0,a^3+b^3=1$
  
  $\begin{array}{r}(a^3+b^3)(a+b)=(a^4+b^4)+ab(a^2+b^2)a^4+b^4\\ =(a^3+b^3)(a+b)-ab(a^2+b^2)\end{array}$
  
  $Ans.{\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta =1\times 1+0\times 1=1$

戴偉璿Sun, Jan 23, 2022 11:29 PM

證明

P1

$(a+b{)}^2=a^2+b^2+2ab$

$\begin{array}{rl}2ab=& (a+b{)}^2-(a^2+b^2)\\ =& (a+b{)}^2-1\end{array}$

$ab=\frac{(a+b{)}^2-1}{2}=\frac{t^2-1}{2}$

P2

$\begin{array}{rl}(a+b{)}^3=& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\\ =& a^3+b^3+3ab(a+b)\end{array}$

$a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$

戴偉璿Sun, Jan 23, 2022 11:29 PM