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# System prepended metadata

title: Lista 5 - Métodos

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# Lista 5 - Métodos

## Questão 1
Base:
**Regra do sinal de Descartes:** dado um polinômio com coeficientes reais, o número de zeros reais positivos $p$ de um polinômio $P(x)$ é não excede o número $v$ de variações do sinal dos coeficientes, sendo $(v-p)$ um número **inteiro, par, não negativo**. *Para raizes negativas é a mesma coisa só que troca por $P(-x)$ o que faz trocar o sinal dos coeficientes onde o $x$ for elevado a um expoente ímpar.*
**O que sobra é complexo conjugado.**
Região circular: 
Divide cada elemento até $a_{n-1}$ por $a_n$ e pega o **maior**, ele será o raio.
Para o um valor:
$P_1 = N\cdot\frac{|a_0|}{|a_n|}$
ou
$P_n = \sqrt[n]{\frac{a_0}{a_n}}$
E pega o menor.

#### a) 
Positivo: $v = 3$
Se $v-p = 0$ então $p = 3$
Se $v-p = 2$ então $p = 1$

Negativo: $v = 1$
Se $v-neg = 0$ então $neg = 1$

Estimasse então: 
3 positivas, 1 negativa e 0 complexas conjugadas.
1 positiva, 1 negativa e 2 complexas conjugadas.

#### b)
Positivo: $v=4$
Se $v-p = 0$ então $p = 4$
Se $v-p = 2$ então $p = 2$
Se $v-p = 4$ então $p = 0$

Negativos: $v=1$
Se $v-neg = 0$ então $neg = 1$

Estimasse então:
4 p, 1 neg, 0 complex
2 p, 1 neg, 2 complex
0 p, 1 neg, 4 complex

#### c)
Positivo: $v=1$
Se $v-p = 0$ então $p = 1$

Negativo: $v=2$
Se $v-neg = 2$ então $neg = 0$
Se $v-neg = 0$ então $neg = 2$

Estimasse então:
1 p, 0 neg, 2 complex
1 p, 2 neg, 0 complex

#### f)
Positivo: $v = 4$
Se $v-p = 0$ então $p = 4$
Se $v-p = 2$ então $p = 2$
Se $v-p = 4$ então $p = 0$

Negativo: $v = 0$
$neg = 0$

Estimasse então:
4 p, 0 complex
4 p, 2 complex
4 complex

## Questão 2
Fórmulas Müller
Chuta 3 valores iniciais, normalmente 0, 0.5 e 1.
$h_0 = x_1 - x_0$
$h_1 = x_2 - x_1$

$\delta_0 = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}$

$\delta_1 = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

$a = \frac{\delta_1 - \delta_0}{h_1 + h_0}$
$b = a\cdot h_1 + \delta_1$
$c = f(x_2)$

$x_3 = x_2 + \frac{-2c}{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}$
O sinal após o $b$ é definido pelo próprio $b$.

O erro é dado por $E_a = \frac{|x_3-x_2|}{|x_3|}$

Depois é só avançar os valores.






# Lista 6 - Computacional


## Questão 4

Minimizar $3x_1 + 2x_2 + 3x_3$
Sujeito a:
$3x_1 + 4x_2 + x_3 - S_1 + R_1 = 7$
$2x_1 + x_2 + x_4 - S_2 + R_2 = 10$

|    | x1 | x2 | x3 | x4 | R1   | R2   | S1 | S2 | Sol |
|----|----|----|----|----|------|------|----|----|-----|
| z  | -3 | -2 | -3 | 0  | -100 | -100 | 0  | 0  | 0   |
| R1 | 1  | 4  | 1  | 0  | 1    | 0    | -1 | 0  | 7   |
| R2 | 2  | 1  | 0  | 1  | 0    | 1    | 0  | -1 | 10  |

Eliminar as variáveis artificiais

|    | x1  | x2  | x3 | x4  | R1 | R2 | S1   | S2   | Sol  |
|----|-----|-----|----|-----|----|----|------|------|------|
| z  | 297 | 498 | 97 | 100 | 0  | 0  | -100 | -100 | 1700 |
| R1 | 1   | 4   | 1  | 0   | 1  | 0  | -1   | 0    | 7    |
| R2 | 2   | 1   | 0  | 1   | 0  | 1  | 0    | -1   | 10   |

Olhar as interseções

|    | x1  | x2  | x3 | x4  | R1 | R2 | S1   | S2   | Sol  | Intersecções |
|----|-----|-----|----|-----|----|----|------|------|------|--------------|
| z  | 297 | 498 | 97 | 100 | 0  | 0  | -100 | -100 | 1700 |              |
| R1 | 1   | 4   | 1  | 0   | 1  | 0  | -1   | 0    | 7    | 1.75         |
| R2 | 2   | 1   | 0  | 1   | 0  | 1  | 0    | -1   | 10   | 10           |


Seleciona a linha do **R1** e coluna do **x2** que é o 4
Divide tudo por 4

|    | x1   | x2  | x3   | x4  | R1   | R2 | S1    | S2   | Sol  |
|----|------|-----|------|-----|------|----|-------|------|------|
| z  | 297  | 498 | 97   | 100 | 0    | 0  | -100  | -100 | 1700 |
| R1 | 0.25 | 1   | 0.25 | 0   | 0.25 | 0  | -0.25 | 0    | 1.75 |
| R2 | 2    | 1   | 0    | 1   | 0    | 1  | 0     | -1   | 10   |

Zera coluna do x2

|    | x1    | x2 | x3    | x4  | R1     | R2 | S1    | S2   | Sol   |
|----|-------|----|-------|-----|--------|----|-------|------|-------|
| z  | 172.5 | 0  | -27.5 | 100 | -124.5 | 0  | -24.5 | -100 | 828.5 |
| x2 | 0.25  | 1  | 0.25  | 0   | 0.25   | 0  | -0.25 | 0    | 1.75  |
| R2 | 1.75  | 0  | -0.25 | 1   | -0.25  | 1  | 0.25  | -1   | 8.25  |
Final **1ª interação**

|    | x1    | x2 | x3    | x4  | R1     | R2 | S1    | S2   | Sol   | Intersec |
|----|-------|----|-------|-----|--------|----|-------|------|-------|----------|
| z  | 172.5 | 0  | -27.5 | 100 | -124.5 | 0  | -24.5 | -100 | 828.5 |          |
| x2 | 0.25  | 1  | 0.25  | 0   | 0.25   | 0  | -0.25 | 0    | 1.75  | 7        |
| R2 | 1.75  | 0  | -0.25 | 1   | -0.25  | 1  | 0.25  | -1   | 8.25  | 4.71     |

Pivo está na linha R2 e coluna x1. Zera a coluna x1.





