# Zwiebach 14.1 要点: * 超対称性の説明 * フェルミオンを量子化するときに反可換な演算子が出てくる説明 ## 序論 超対称性を導入する。 超対称性: ボソンとフェルミオンの交換に対する対称性。 > 開弦: > > | Neveu-Schwarz (NS) セクター | Ramond (R\) セクター | > | -------- | -------- | > | ボソン的状態 | フェルミオン的状態 | > > 任意の質量レベルで、ボソン的な自由度とフェルミオン的な自由度が同じになる。 > > タイプⅡ型の閉弦理論: 開いた超弦の状態空間を取捨して組み合わせる。 > 今まで見てきた状態は全てボソン的だった（開弦、閉弦ともに）。ゲージボソンや重力子に対応。 > > 現実を表すには、フェルミオン的な状態も必要（クオーク、レプトン）。そこで超弦理論。 > （お話:）超弦理論はタキオンを含まない。その結果、開いた超弦は安定なDブレインを記述できる（？）。ボソン的な弦理論のDブレインは必ず不安定だった（そうだっけ？）。 > 現実は超対称性が成り立っていないので、超対称性は自発的に破れる、と考えられる。 > > 自発的対称性: [参考図](http://www005.upp.so-net.ne.jp/yoshida_n/L1_05.htm): > >  > > 磁石の方向が温度が下がるとそろう（自発的に対称性がやぶれる）[例](https://qiita.com/jabberwocky0139/items/a34c9e9a2e711d4d6a54): >  ## 反可換は変数 「反可換な変数」の概念を説明する。 $b_1, b_2$ が反可換な変数とは: $$b_i b_j = -b_j b_i$$ ここから: \begin{align} b_1 b_2 &= -b_2 b_1\\ b_1 b_1 &= 0\\ b_2 b_2 &= 0 \end{align} > 自乗が0というのはかなり奇妙な性質。普通、スカラーでもベクトルでも、自乗が0だとその数は0なので。行列で、逆行列を持たないものなら、このような関係が成り立ち得るだろう（具体的に行列で構成できる？）。 > 計算練習14.1: > $$\gamma^1 := \left( \begin{array}{rr} 0 & -1\\ 1 & 0\\ \end{array} \right), \gamma^2 := \left( \begin{array}{rr} 0 & 1\\ 1 & 0\\ \end{array} \right)$$ のとき、反可換 $$\gamma^1 \gamma^2 = \left( \begin{array}{rr} -1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{array} \right) = -\gamma^2 \gamma^1$$ だが、「反可換な変数」ではない: $$\gamma^1 \gamma^1 = \left( \begin{array}{rr} -1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{array} \right) \neq 0$$ 反交換関係を表す記号: $$\{a, b\} := ab + ba$$ > $a, b$ が反可換ならゼロになる。 ## 反可換な演算子 > 反可換な変数を量子化すると、反可換な演算子になる。 反可換な演算子がフェルミオンに対応することを説明する。 場の量子化を考える。生成演算子 $a^\dagger_\mathbf{p_1}, a^\dagger_\mathbf{p_2}$ を考える。 \begin{align} a^\dagger_\mathbf{p_1} a^\dagger_\mathbf{p_2} \left| \Omega \right> &: \quad \text{運動量 $\mathbf{p}_1$ の粒子が1つと、運動量 $\mathbf{p}_2$ の粒子が1つ}\\ (a^\dagger_\mathbf{p_1})^2 a^\dagger_\mathbf{p_2} \left| \Omega \right> &: \quad \text{運動量 $\mathbf{p}_1$ の粒子が2つと、運動量 $\mathbf{p}_2$ の粒子が1つ} \end{align} これが反可換な演算子の場合: $$a^\dagger_\mathbf{p_1} a^\dagger_\mathbf{p_1} = 0$$ より同じ状態に二つの粒子が入ることはできない。これは、粒子がフェルミ粒子であることを意味する。 > また: > > \begin{align} > （反可換でない）演算子 &: \quad a^\dagger_\mathbf{p_1} a^\dagger_\mathbf{p_2} \left| \Omega \right> = a^\dagger_\mathbf{p_2} a^\dagger_\mathbf{p_1} \left| \Omega \right>\\ > 反可換な演算子 &: \quad a^\dagger_\mathbf{p_1} a^\dagger_\mathbf{p_2} \left| \Omega \right> = -a^\dagger_\mathbf{p_2} a^\dagger_\mathbf{p_1} \left| \Omega \right> > \end{align} > > （$\mathbf{p_1} \neq \mathbf{p_2}$ で考えた）