# PDD - praca domowa zadana 29.03.2021
### Michał Filipiuk - 385423

Zadanie: Obliczyć koszt R(A,B,C)⋈S(A,B,D)⋈T(A,D,E)⋈U(D,F)

Zaczniemy zadanie od uproszczenia go poprzez znalezienie zmiennych dominujących. Są to A i D (B jest dominowane przez A, C jest dominowane przez A, E jest dominowane zarówno przez A i D, F jest zdominowane przez F). Oznacza to, że równanie można uprościć poprzez ustawienie liczby podziałów każdej z tych zmiennych na 1.

Koszt:
$rd + s + t + ua$

Koszt w metodzie mnożników Lagrange'a ($k = ad$)
$rd + s + t + ua - \lambda(ad - k)$

Zróżniczkujmy go po a i d oraz przyrównajmy do zera:
$\frac{\partial f}{\partial a} = u - \lambda d = 0$
$\frac{\partial f}{\partial d} = r - \lambda a = 0$

Wyznaczamy lambdę z pierwszego równania:
$\lambda = \frac{u}{d}$

Podstawiamy do drugiego i wyznaczamy a:
$r - \frac{ua}{d} = 0$
$\frac{rd}{u} = a$

Teraz wracamy do $k = ad$ i podstawiamy a w celu wyznaczenia d:
$\frac{rd^2}{u} = k$
$d = \sqrt{\frac{ku}{r}}$

A teraz a:
$a = \sqrt{\frac{kr}{u}}$

Możemy w takim razie wrócić i wyznaczyć już finalny koszt zadania całego w funkcji k, r, s, t i u:
$\sqrt{kur} + s + t + \sqrt{kur}$