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title: 23/02/16 線代筆記
tags: 線性代數
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# 線代筆記

## 克拉瑪原理

$x_i = \frac{det(X_i)}{det(A)}$

## 線性獨立

### 線性組合

### 生成空間

### 基底
彼此線性獨立且生成空間為$R^n$的向量集合

### 線性獨立
#### 相依
線性組合之係數不為全0

#### 獨立
非線性相關系統即為獨立

## 歐氏空間內積

就內積

### 角度
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta$

### 向量
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n = \sum_{i=1}^n a_i b_i$

### 矩陣
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^T \mathbf{b}$

### 性質
1. 交換律：( $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$ )
2. 線性性：
• 對於固定的 ( $\mathbf{v}$ )，內積對 ( $\mathbf{u}$ ) 是線性的，即 ( $(\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2) \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u}_1 \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u}_2 \cdot \mathbf{v}$ )
• 對於標量 $c ， (c \mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} = c (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$)
3. 非負性： $\mathbf{u} \cdot \mathbf{u} \geq 0$ ，且只有當 $\mathbf{u} = \mathbf{0}$ 時，才有 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{u} = 0$
4. Cauchy-Schwarz（就柯西） 不等式： $| \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} | \leq \| \mathbf{u} \| \| \mathbf{v} \|$ ，其中 $\| \mathbf{u} \|$ 是 $\mathbf{u}$ 的範數，定義為 $\| \mathbf{u} \| = \sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}$

## 範數與距離的性質

- 範數: 向量的長度( $||u||=(\langle u, u \rangle)^{\frac 1 2)}$ )

## 正交投影
- 垂直
- 內積為0

### 格蘭史密特正交
現有
$u = (u_1,u_2,u_3)$

則
$v_1=u_1$
$v_2=u_2-proj_{v_1}u_2=u_2-\frac{\langle u_2, v_1 \rangle}{||v_1||^2}v_1$
$v_3=u_3-proj_{v_1}u_3-proj_{v_2}u_3=u_3-\frac{\langle u_3, v_1 \rangle}{||v_1||^2}v_1-\frac{\langle u_3, v_2 \rangle}{||v_2||^2}v_2$
...

## 最小平方解

求==常態方程==$A^TAx=A^TB$的解

思路： 先乘開再高斯消去或解聯立

## 特徵值與特徵向量

### 特徵值
解$det(A -\lambda I)=0$

### 特徵向量
解$(A - \lambda I)v = 0$