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title: 利用三角函數計算根號
tags: math, geometry
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# 利用三角函數計算根號

$x^2+y^2=r^2$

$x=\cfrac{n-1}{2}, r=\cfrac{n+1}{2}$

$\Rightarrow y=\sqrt n$

已知 $x, r$，其滿足cos的公式條件，進而可以計算出θ角度值

$\cos \theta=\cfrac{x}{r} \Longrightarrow \theta=\cos^{-1}(\cfrac{x}{r})=\cos^{-1}(\cfrac{n-1}{n+1})$

得 $y=r\sin(\cos^{-1}(\cfrac{n-1}{n+1}) )=\sin(\cos^{-1}(\cfrac{n-1}{n+1})$

$y=r\sin(\cos^{-1}(\cfrac{n-1}{n+1}) )=\cfrac{n+1}{2}\cdot\sqrt{1-(\cfrac{n-1}{n+1})^2}$