$$
\usepackage{amsmath,mathtools}
\newenvironment{sysmatrix}[1]
{\left(\begin{array}{@{}#1@{}}}
{\end{array}\right)}
\newcommand{\ro}[1]{%
\xrightarrow{\mathmakebox[\rowidth]{#1}}%
}
$$

# Bab 2. Metode Numerik untuk Sistem Persamaan Linier

## 2.0 Pengantar
Bab ini mencakup solusi numerik dari sistem persamaan linear dan nonlinear. Sistem linear dipelajari terlebih dahulu, dilanjutkan dengan metode-metode khusus untuk secara efisien menangani sistem linear besar.

Sistem persamaan linier adalah sebuah koleksi dua atau lebih persamaan linier yang melibatkan sejumlah variabel. Perhatikan sistem persamaan linier berikut

$$
x + y = 3\\
3x - 4y = 2
$$

Sistem persamaan linier di atas mempunyai dua persamaan dalam dua variabel, $x$ dan $y$. Solusi dari sistem persamaan linier di atas adalah nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi setiap persamaan. Secara geometri, solusi sistem persamaan linier adalah titik potong dari kurva setiap persamaan. Perhatikan Gambar x.x berikut.

Titik $()$ yaitu $x = $ dan $y = $.

Sistem persamaan linier sering disingkat sebagai sistem linier dan variabel dalam sistem persamaan linier sering disebut dengan tidak diketahui.


## 2.1 Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear yang terdiri dari $n$ persamaan dengan $n$ tidak diketahui $x_1, x_2, ..., x_n$ mempunyai bentuk berikut
$$
\begin{equation}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n = b_2 \\
... \\
a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n = b_k
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
dimana $a_{ij}$ untuk $i, j = 1, 2, ..., n$ dan $b_k$ untuk $k = 1, 2, ..., n$ adalah nilai konstan yang diketahui, dan $a_{ij}$ adalah koefisien. Jika setiap nilai $b_k$ sama dengan nol maka sistem ini disebut homogeneous, sebaliknya disebut nonhomogeneous.

Persamaan 2.1 di atas dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai

$$
Ax = b
\tag{2.2}
$$

dengan


dimana $A$ adalah matriks koefisien. Himpunan nilai-nilai dari $x_1, x_2, ..., x_n$ yang memenuhi persamaan 2.1 disebut sebagai solusi dari sistem.

---
**Contoh x.x (Sistem Persamaan Linier dengan Dua Tidak Diketahui)**
Cari solusi dari sistem persamaan linier berikut:

$$
3x_1 + 2x_2 = 18 \\
-x_1 + 2x_2 = 2
$$

**Solusi.**
Sistem persamaan linier di atas dapat digambarkan seperti berikut.


Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa solusi dari sistem persamaan di atas adalah $x_1 = 4$, $x_2 = 3$.

---

Terdapat dua kategori pendekatan pada solusi numerik dari sistem persamaan linier, yaitu
1. Metode Langsung.
2. Metode Tidak Langsung.


## 2.2 Eliminasi Gauss

Metode eliminasi Gauss adalah acra yang efisien untuk menyelesaikan sistem $n$ persamaan dengan $n$ tidak diketahui.

Metode eliminasi Gauss menggunakan operasi baris elementer:
1. Menukar satu persamaan dengan yang lainnya.
2. Menambahkan atau mengurangkan satu persamaan dari persamaan lainnya.
3. Mengalikan sebuah persamaan dengan konstan tidak nol.

// ubah//
Metode eliminasi Gauss adalah salah satu metode paling awal yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan persamaan simultan. Meskipun, paling awal, metode ini adalah salah satu metode yang paling penting yang digunakan saat ini.
//////

Operasi baris elementer terdiri dari tiga operasi:
1. d
2. d
3. d

Kita akan mencontohkan
https://saylordotorg.github.io/text_intermediate-algebra/s06-05-matrices-and-gaussian-eliminat.html
https://courses.engr.illinois.edu/cs357/su2013/lectures/lecture06.pdf

---
**Contoh 7.1 (Sauer, Numerical Analysis Example 2.1 p. 73)**
Gunadkan metode eliminasi Guass untuk menyelesaikan sistem persamaan linear berikut

$$
\begin{align}
x_1 + 2x_2 - x_3 &= 3 \\
2x_1 + x_2 - 2x_3 &= 17 \\
-3x_1 + x_2 + x_3 &= -6
\end{align}
$$

**Solusi**
Sistem persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk matriks-vektor seperti berikut

$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 \\
2 & 1 & -2 \\
-3 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 \\ 17 \\ -6
\end{pmatrix}
\end{equation}
$$

Matriks augmentasi dari sistem persamaan di atas adalah

$$
\left(\begin{array}{@{} r r r | r ${}}
1 & 2 & -1 & 3\\
2 & 1 & -2 & 17\\
-3 & 1 & 1 & -6
\end{array}\right)
$$

Tujuan dari eliminasi Gauss adalah melakukan operasi baris elementer untuk mendapatkan matriks augmentasi bentuk segitiga atas (*upper triangular*) yaitu sebuah matriks dimana elemen-elemen matriks di bawah diagonal matriks $A$ bernilai 0. Untuk matriks $A$ berukuran $3 \times 3$ mempunyai bentuk matriks augmentasi segitiga atas seperti berikut:

$$
\left(\begin{array}{@{} r r r | r ${}}
a_{11}^* & a_{12}^* & a_{13}^* & b_{1}^*\\
0 & a_{22}^* & a_{23}^* & b_{2}^*\\
0 & 0 & a_{33}^* & b_{3}^*
\end{array}\right)
$$

Langkah-langkah dari elmininasi Gauss adalah dengan mengubaah bentuk matriks-vektor di atas menjadi seperti berikut:

- Kalikan baris pertama dengan $-1/4$ dan tambahkan ke baris kedua

$$
\left(\begin{array}{@{} r r r | r ${}}
1 & 2 & -1 & 3\\
2 & 1 & -2 & 17\\
-3 & 1 & 1 & -6
\end{array}\right)

\left(\begin{array}{@{} r r r | r ${}}
4 & 2 & -1 & 5\\
0 & 3\frac 1 2 & 1 \frac 1 4 & 12\\
2 & -1 & 4 & 12
\end{array}\right)
$$

$$
\begin{sysmatrix}{rrr|r}
1 & 2 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 5 \\
0 & -2 & 1 & 4
\end{sysmatrix}
&
\rightarrow
&
\begin{sysmatrix}{rrr|r}
1 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 2 & 0 \\
0 & -2 & 1 & 5 \\
0 & -2 & 1 & 4
\end{sysmatrix}
$$
---

#### Memilih Baris Pivot

https://web.mit.edu/10.001/Web/Course_Notes/GaussElimPivoting.html

1. Dalam setiap baris $i$ dari $A$, cari elemen dengan nilai absolut terbesar dan namai dengan $M_i$.

### Aturan Cramer
Aturan Cramer adalah salah satu teknik yang cocok untuk sistem persamaan linier dengan jumlah persamaan yang kecil. Kita akan membahas penggunaan aturan Cramer untuk SPL tiga persamaan.

Untuk SPL tiga persamaan, kita mempunyai matriks $A$ sebagai berikut

$$
A = \matrix{a_{11} & a_{12}}
$$

Matriks A

## Faktorisasi LU

**Definisi** Sebuah matriks $L$ berukuran $m \times n$ disebut *lower triangular* (segitiga bawah) jika memenuhi

**Contoh x.x** Cari faktorisasi LU untuk matriks $A$ berikut

$$
A =
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
3 & -4 \\
\end{pmatrix}
$$

Langkah elimniasi