# Bab 4. Interpolasi
- https://en.wikipedia.org/wiki/Interpolation
- https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/0471705195.ch3#:~:text=Interpolation%20is%20to%20connect%20discrete,a%20given%20set%20of%20data.
- https://pythonnumericalmethods.berkeley.edu/notebooks/chapter17.00-Interpolation.html
- https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/interp1.html
- https://docs.scipy.org/doc//scipy-0.18.1/reference/tutorial/interpolate.html

Interpolasi adalah proses menghubungkan data-data diskrit sehingga kita mendapatkan estimasi dari poin-poin data yang berada di antara data-data diskrit. Pengepasan kurva (curve fitting) adalah proses pencarian sebuah kurva yang cocok untuk dengan pola dari himpunan data yang diberikan.

Keluarga fungsi yang umumnya digunakan dalam interpolasi antara lain:
- Polinomial
- Piecewise polinomial
- Fungsi Trigonometi
- Fungsi Eksponensial
- Fungsi Rasional

## 4.1 Interpolasi Polinomial
Interpolasi polinomial melibatkan penentuan polinomial ordo-$n$ yang melewati $n + 1$ titik data. Polinomial ini kemudian memberikan rumus untuk menghitung nilai-nilai diantara (*intermediate value*) titik-titik data tersebut.

Hanya satu polinomial ordo-$n$ yang melewati $n+1$, tetapi terdapat beberapa varian dari ekspresi matematika yang merepresentasikannya. Pada Bab ini kita akan membahas dua alternatif yang cocok untuk implementasi komputer: Polinomial Newton dan Lagrange.

Polinomial Newton, Lagrange, Spline.

### 4.1.1 Polinomial Newton
Sebelum kita membahas bentuk umum dari polinomial Newton, kita akan melihat ordo-1 dan ordo-2 dari polinomial ini.

#### Interpolasi Linear
Bentuk sederhana dari interpolasi adalah menghubungkan dua titik data dengan garis lurus. Teknik ini disebut interpolasi linier yang diilustrasikan secara grafik pada Gambar x.x.


Berdasarkan sifat kekongruenan segitiga kita mempunyai persamaan

$$
\frac {f_1(x) - f(x_0)} {x - x_0} = \frac {f(x_1) - f(x_0)} {x_1 - x_0}
$$

yang dapat disusun ulang menjadi

$$
f_1(x) = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)} {x_1 - x_0}(x - x_0) \tag{4.1}\label{Pers4.1}
$$

Persamaan $\ref{Pers4.1}$ disebut sebagai **formula interpolasi linear**. Angka 1 pada notasi $f_1(x)$ berarti fungsi ini adalah polynomial interpolasi ordo-satu. Perhatikan selain merepresentasikan slope/gradien dari garis yang menghubungkan dua titik, suku $[f(x_1) - f(x_0)]/(x_1 - x_0)$ adalah aproksimasi finite-divided-difference dari derivatif pertama. Secara umum, semakin kecil interval antara titik-titik data, semakin baik aproksimasi ini. Ini disebabkan bahwa semakin kecil interval, sebuah fungsi kontinyu akan lebih baik diaproksimasi oleh garis lurus.

**Contoh x.x** Perkirakan nilai $ln 2$ menggunakan aproksimasi linier dengan menggunakan dua titik data, $\ln 1 = 0$ dan $\ln 6 = 1.791759$.

**Solusi** Menggunakan persamaan $\ref{Pers4.1}$ dengan $x_0 = 1$ dan $x_1 = 6$ memberikan