# Bab 5. Integrasi Numerik
- https://www.sfu.ca/math-coursenotes/Math%20158%20Course%20Notes/sec_Numerical_Integration.html
- https://math.libretexts.org/Courses/Mount_Royal_University/MATH_2200%3A_Calculus_for_Scientists_II/2%3A_Techniques_of_Integration/2.5%3A_Numerical_Integration_-_Midpoint%2C_Trapezoid%2C_Simpson's_rule
- https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/rootfinding.html

## 5.0 Pengantar
Integrasi numerik adalah penggunaan metode numerik untuk meghitung nilai dari integral tertentu (definite integral)
$$
\int_a^bf(x)dx
$$

dimana $f(x)$ disebut sebagai integrand, $a$ adalah batas bawah, dan $b$ adalah batas atas. Nilai dari integral tertentu di atas didefinisikan sebagai luas area antara kurva $f(x)$ dan sumbu-$x$ yang dibatasi oleh garis $x=a$ dan garis $x=b$. Secara geometri, nilai integral tertentu di atas diilustrasikan oleh Gambar x.x berikut.


Nilai dari integral tak tentu dapat diaproksimasi menggunakan penjumlahan seperti terlihat pada persamaan berikut

$$
\int_a^bf(x)dx \approx \sum_{i=0}^n \label{eq:1}
$$
Untuk mengaproksimasi $\int_a^bf(x)dx$

**Definisi 5.1** Anggap $f$ sebagai fungsi kontinyu yang didefinisikan pada interval $[a, b]$ dengan partisi $P = \{x_0, x_1, ..., x_n\}$ pada $[a, b]$ dengan
$$
\int_a^bf(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x
$$

## 5.2 Rumus Integrasi Newton-Cotes
Rumus Newton-Cotes adalah skema integrasi numerik yang paling umum. Rumus ini berdasarkan pada strategi yang memindahkan fungsi yang rumit atau data

## 5.3 Aturan Persegi
Dalam aturan persegi, integral tertentu $\int_a^b f(x)dx$ diaproksimasi menggunakan luas dari persegi panjang.

Dalam aturan persegi, interval $[a, b]$ dibagi menjadi $n$ subinterval yang didefinisikan oleh titik-titik $x_1, x_2, ..., x_n, x_{n+1}$ dimana $x_1 = a$ dan $x_{n+1} = b$. Setiap subinterval dapat mempunyai lebar-lebar berbeda sehingga subinterval yang lebih lebar dapat dipilih untuk area dimana integrand menunjukkan perubahan yang lambat dan subinterval dengan lebar lebih pendek digunakan dimana integrand mengalami perubahan yang cepat. Namun, untuk memudahkan kalkulasi numerik, umumnya, subinterval-subinterval ini dibentuk dengan lebar yang sama.

### 5.3.1 Aturan Titik Tengah

Aturan titik tengah adalah teknik menghitung aproksimasi nilai integral tertentu dengan aturan persegi dimana tinggi setiap persegi panjang didapatkan dengan menghitung nilai $f(x)$ pada titik tengah setiap subinterval. Gambar berikut mengilustrasikan aturan titik tengah.


Anggap $[x_i, x_{i+1}]$ dengan $i = 1, 2, ..., n$ menotasikan subinterval-subinterval dari $[a, b]$ dimana $x_1 = a$, $x_{n+1} = b$, dengan lebar setiap subinterval sama. Sebut $h$ sebagai nilai tengah dari setiap subinterval, yaitu

$$
h = \frac {b-a} n
$$

maka

$$
\int_a^b f(x)dx \approx h \sum_{i=1}^n f(m_i)
$$

dimana $m_i$ adalah titik tengah dari subinterval $[x_i, x_{i+1}]$ yaitu

$$
m_i = x_i + \frac h 2
$$

---
**Contoh 5.3.2** Gunakan aturan titik tengah dengan empat subinterval untuk mengestimasi
$$
\int_0^1 x^2 dx
$$

**Solusi**
Setiap subinterval mempunyai panjang $h = \frac {1-0} 4 = \frac 1 4$. Maka, kita mempunyai subinterval:
$$
\Big[0, \frac 1 4\Big], \Big[\frac 1 4, \frac 1 2\Big], \Big[\frac 1 2, \frac 3 4 \Big], \Big[\frac 3 4, 1\Big]
$$

Titik tengah dari setiap subinterval adalah $\Big\{ \frac 1 8, \frac 3 8, \frac 5 8, \frac 7 8 \Big\}$.
Jadi,

$$
\int_0^1 x^2 dx \approx \Big(\frac 1 2\Big) \Big[f(\frac 1 8) + \Big]
$$
---

## 5.3 Aturan Trapezoid

Anggap $x_0 = a$, $x_1 = b$, $h = b - a$ dan gunakan polinomial linear Lagrange:

$$
P_1(x) = \frac {(x - x_1)} {(x_0 - x_1)}f(x_0) +
$$

## 5.4 Aturan Simpson

### 5.4.1 Aturan Simpson 1/3
Aturan Simpson 1/3 menghitung $$ menggunakan polinomial derajat-dua untuk mengestimasi integrand $f(x)$. Tiga titik diperlukan dalam metode Simpson 1/3 yaitu, $x_1 = a$, $x_2 = (a + b) / 2$, dan $x_3 = b$. Sehingga, polynomial interpolasi Lagrange derajat-dua dibentuk sebagai berikut

$$
p_2(x) = \frac {(x - x_1)(x - x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)}f(x_1) + \frac {(x - x_1)(x - x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)}f(x_1) + \frac {(x - x_1)(x - x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)}f(x_1)
$$

$$
\int_a^b f(x)dx \approx \frac 1 3 h \Big[f(a) + 4f\Big( \frac {a + b} 2 \Big) + f(b) \Big]
$$

Kita dapat meningkatkan keakuratan estimasi aturan Simpson 1/3 dengan membagi interval $[a, b]$ sebanyak $n$ subinterval dan menerapkan menerapkan aturan Simpson 1/3 pada s

### 5.4.2 Aturan Simpson 3/8

## 5.5 Integrasi Romberg

## 5.5 Keakuratan