# Dynamic Games of Incomplete Information
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Signaling game

概論
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老天爺會決定一個Signal Sender (Sender）的特質，這時候有一個相對應的Signal Receiver（Receiver）來應對這個Sender給的Signal並依Signal做出不同的決策。我們稱這種賽局叫做Signaling Game。是屬於Dynamic Games 的其中一種。

這種Signaling Game分成三種均衡：
1. **Pooling Equilibrium**
即大家都傳送出一樣的訊息，根本無從鑑別。
2. **Separating Equilibrium**
不同種類的人會傳送出不同種類的訊息，該訊息具備鑑別度。
3. **Partially Separating/Pooling Equilibrium**
就介於上面兩者的一半，可以透露出某種程度上的訊息。

舉例一
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在美國西部小鎮上有個酒吧，裡面有個很愛欺負人的惡霸Ｂ，這個惡霸有機會欺負剛進來酒吧的任何人Ａ。但是這個Ａ可以是跟惡霸一樣猛的惡霸，或者是一個好欺負的菜雞，且剛進來這個酒吧的人是惡霸的比例是0.9，菜雞的比例是0.1。A可以點啤酒或鹹派，如果他吃到他自己想吃到的東西的話，他會得到一點的報酬（**給定大家的印象是惡霸喜歡啤酒，菜雞喜歡鹹派**）。但是如果Ｂ沒有來找他麻煩的話，他可以額外獲得兩點的報酬。Ｂ如果找他麻煩，Ａ只是少得到兩點報酬，不會扣分。同理，如果Ａ沒有吃到他自己想吃的東西的話，他就只是沒有得到那一點而已。那Ｂ就很簡單，只要他挑釁到跟他一樣猛的人，它就摸摸鼻子認了沒報酬; 但是如果他剛好遇到比他弱的菜雞，它就得到一分的報酬。


**前提**

大家認為惡霸喝啤酒，菜雞吃鹹派


**判斷**

我如果是惡霸，我走下面那條。我就不愛吃鹹派，所以根本對我來說沒有報酬，我自然不會走那邊。我本來就愛喝啤酒，所以我自然而然會走喝啤酒那條。

反過來如果我是菜雞，我選喝啤酒那條對我來說報酬也比較高，所以我會選喝啤酒。

**結論**

這個就形成了pooling equilibrium，代表這個訊息一點都沒屁用。因為菜雞也喝啤酒，惡霸也喝啤酒，根本沒辦法分析出什麼資訊。

**舉例一變形**
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那如果今天我給題目換個小細節：
「**菜雞超級討厭喝酒，所以如果他喝啤酒的話報酬是-1.5**」(大家先假裝看不到那個粗線條><)


**前提**

大家認為惡霸喝啤酒，菜雞吃鹹派

**判斷**

我如果是惡霸，我走下面那條。我就不愛吃鹹派，所以根本對我來說沒有報酬，我自然不會走那邊。我本來就愛喝啤酒，所以我自然而然會走喝啤酒那條。

但是今天我是菜雞，如果我喝啤酒會不開心，導致我就算喝啤酒來假裝我是猛哥，我的報酬還不會比過我吃鹹派卻被人挑釁來得高。所以我寧願忠於我自己的喜好唄。


**結論**

這個就是Separating Equilibrium。資訊有鑑別度，菜雞的確會吃派，惡霸真的會喝酒。總而言之，其實真正決定這個賽局的因素在於報酬的分配跟這個賽局的結構。

**舉例二**
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教育真的是有用的Signaling工具嗎？這個賽局的結構比較極端，但是大家可以參考看看。

對於各種高中生而言，如果你是屬於比較笨的那種（無惡意）那你可能就要花比較多的成本在上大學上。好比說你如果要避免被當掉就要花比較多時間唸書，或者考大學之前要付出比較多補習費才能達到聰明人的效果云云。反之，如果你是電神，你可能付出一點成本就可以得到很好的學習效果。為此，我們設定上大學的成本對於呆瓜來說是3，對於聰明人來說是1。但是就像霸社裡面的某些呆瓜講的「唸到台大這麼屌到最後還不是跟我們領一樣的薪水」，為了證明他們沒說錯，所以我們設定出來工作的大家薪水都是2。另一方面，雇用人如果可以請到優秀的人，對他們來說的效益是3，請到呆瓜的話是0。

**前提**

沒有人想要請一個呆瓜，大家都想要請厲害的人為自己工作。問題來了，為了避免循環論證，我們勢必是要找到新的邏輯來證明我們現在的邏輯是正確的。為此，我們先假想這世界如果沒有大學會怎樣，也就是說，把這個賽局的一部分變成靜態賽局看看到底會發生什麼事。


在這張圖裡面，我們很明顯地看到給定有沒有大學這個篩選器無效了。也就是說，**世界上剩下呆瓜或聰明人兩個選項。** 我們可以算出來雇主們如果要雇用一個人，就是碰運氣。在這個賽局的結構下，他們如果選擇雇用的話就只能一視同仁的全部雇用（*別忘了我們是沒有考慮別的因素進來的，你都沒有篩選器了你如果還可以一個一個挑出你的員工，你真的是通靈了。*)**你現在看到如果一間公司選擇雇用，那他的期望值是負的，不如都不要雇用至少不會虧。**

*假定大學如果不是一個具備Signaling力量的工具的話，雇主們就乾脆都不要請人算了*

我們的前提就出來了「**沒念大學的就不要請了**」

**判斷**

給定我們的前提，大家都知道企業們會找有念大學的。可是在給定呆瓜要花比較多成本念大學的情況下，呆瓜們會屈服於現實而選擇不去念大學。因為企業們知道這件事了，所以就形成了這樣的賽局結構：「聰明人會繼續念大學，呆瓜不會繼續念大學」

**結論**

我們的目的是要看看到底教育是否在給定架構之下真的具備Signaling Power，我們得到的答案是正確的。但是這裡的假設很強：
1. 我們假定大學並沒有教會大學生們任何價值。
2. 我們假定這社會沒有別的影響大學生們就讀大學的其他因素。

至少我們可以得到在大學教育具備成本，且報酬並不顯著的時候教育體制的確有一些Signaling Power存在。當然，這一切都還是很看賽局本身的結構來決定的，望周知。