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title: 二項式係數
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###### tags:`math`

# 二項式係數

$(x+1)^n$ 的各項係數計算的公式推導如下, $x^k$ 的係數就是從 $n$ 個 $(x+1)$ 中取 $k$ 個來相乘, 才會出現 $x^k$, 所以 $x^k$ 的係數就是 ${n \choose k}$：

$$
\begin{align}
{n \choose k} &= \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-(k-1))}{k(k-1)(k-2)\cdots1} \\
&= \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-(k-2))}{(k-1)(k-2)\cdots1}\times\frac{n-(k-1)}{k} \\
&={n \choose k-1}\times\frac{(n-(k-1))}{k} \\
&={n \choose k-1}\times\frac{(n+1-k)}{k}
\end{align}
$$

也就是說：

$$
\begin{align}
x^k 項係數 &＝ (x^{k-1} 項係數)\times\frac{(n+1-k)}{k}
\end{align}
$$
