# 一元 n 次方程式

## 一次

$$
\begin{align}
ax+b&=0\\
x&=\frac{-b}{a}\\
\end{align}
$$

## 二次
$$
\begin{align}
ax^2+bx+c&=0\\
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&=0\\
(x+\frac{b}{2a})^2&=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\\
x+\frac{b}{2a}&=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\
x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\end{align}
$$

## 三次
$$
\begin{align}
ax^3+bx^2+cx+d&=0\\
x^3+mx^2+nx+k&=0, m=\frac{b}{a}, n=\frac{c}{a}, k=\frac{d}{a}\\
(x+\frac{m}{3})^3&=(\frac{m^2}{3}-n)(x+\frac{m}{3})+\frac{mn}{3}-\frac{2m^3}{27}-k\\
y^3&=py+q\\
(a+b)^3&=p(a+b)+q\\
a^3+b^3+3ab(a+b)&=p(a+b)+q\\
&\left\{
\begin{array}{l}
a^3+b^3=q\\
3ab=p\\
\end{array}
\right. \\
(a^3-b^3)^2&=q^2-\frac{2p^3}{27}\\
a^3-b^3&=\pm\sqrt{\Delta}\\
x+\frac{m}{3}=a+b&=\sqrt[3]{\frac{q+\sqrt{\Delta}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{q-\sqrt{\Delta}}{2}}\\
\end{align}
$$