---
image: https://hackmd.io/_uploads/HJ-xAy2UC.png
---

# 清大數培 112 年詳解

尚未編撰完畢！！

## Info
[原試題與解答 pdf](https://drive.google.com/file/d/1XzSM1Nw7frcBosoJFjnUEvujzz9GoTX-/view?usp=drive_link)
* 錄取成績：
* 初階班：50 分
* 進階班：60 分
* 菁英班：75 分
* 填充一題 5 分，共 60 分
* 計算題一題 10 分，共 40 分，依答題情形給分

## 試題暨詳解

### 第一題
考點：畫圖、畢氏定理、特殊角

題目：
在一個正三角形內部作三個相同大小的圓，使得每一個圓皆和另外兩圓，以及正三角形的兩邊相切。若圓的半徑為 $1$ ，則正三角形的邊長為 ______ 。

詳解：

### 第二題
考點：一元一次方程式、聯立方程式

題目：
詳解：
在任意一格填入一個未知數往下推，因每個空格都在五邊形角落，所以在剩最後一格時可以利用**該格必須為 100 減去其中一鄰邊的值(不包括該格值)** 作等式
以下為範例

可知
$(90 - x) + 21 = (9 + x) + 32$
$70 = 2x,\ x = 35$
接著代回圖中即可求出答案為 $9$ (代回去這個步驟我應該不用多做解釋，不會做也不用去考了)

### 第三題
考點：畫輔助線的技巧、全等三角型、特殊角

題目：

詳解：

可以發現整張圖無法一眼看出面積的部分為 $OCED$ 的面積
那我們就針對 $OCED$ 做操作
四邊形我們不熟，所以連接 $OE$ 讓他變成 $\triangle ODE,\ \triangle OCE$
你會發現，這條線好像 $\angle BEA$ 的角平分線喔！
當然，考試的時候如果想不到怎麼證可以猜看看，但要證明也不難
::: spoiler 證明
如果要證角平分線，我們要證 $\overrightarrow{EO}$ 上一點與 $\overline{BE},\ \overline{AE}$ 垂直距離相等
我們發現，在點 $O$ 上與 $\overline{BE},\ \overline{AE}$ 的垂直距離就是 $\triangle BOC,\ \triangle AOD$ 斜邊上的高
又兩三角形全等，得證
:::
$\triangle OCE \cong \triangle ODE\ (SAS)$
$\angle EOD = 45^\circ$
我們現在有兩個全等的三角形了，但我們現在只知道其中一個邊是 $4$
如果我們以該邊為底作高，是不是就能找出這個三角形的面積了呢？
作過點 $E$ 垂直 $\overrightarrow{OD}$ 的直線交 $\overrightarrow{OD}$ 於 $F$ 點
$\angle EOF = \angle FEO = 45^\circ$
$\overline{OF} = \overline{EF}$
然後可以用對角相等證出 $\text{▱} AOEF$ (詳細我就不證了，這是國二學完平行與四邊形應該要會的)
> Claire 注：Cheng 學長好電！

$\overline{EF} = \overline{OA} = 8$
$4 \times 8 \div 2 \times 2 + 8 \times 4 \div2 \times 2 + 8\times8 \pi \div 4 = 64 + 16 \pi$

### 第四題
考點：作圖、~~發揮你的想像力~~

題目：
在一個平面上，若點 $P$ 與正三角形 $ABC$ 的三個頂點可分別構成三個等腰三角形，則此點 $P$ 的位置有 ______ 個。

詳解：
如圖，紫色是三角形頂點，藍色是輔助線，橘色是符合條件之 $P$ 點。其中，圓的圓心在三頂點、半徑為邊長。

### 第五題
考點：比例、同高面積比為底邊比
題目：

詳解：

$\triangle{FBC} = \triangle{EFC}$
兩三角形又同高，所以 $\overline{EF}:\overline{FB} = 1:1$
連接 $\overline{DE}$
兩三角形同高，面積比為底邊比，所以 $\triangle{DFB} = \triangle{DEF} = 4$
令 $\triangle{ADE} = x$
$\triangle{ADE}:\triangle{DBE} = \overline{AD}:\overline{DB} = \triangle{ADC}:\triangle{DBC} =$
$x:8 = 16 + x:16,\ 16x = 128 + 8x,\ 8x = 128,\ x = 16$
$x + 4 = 16 + 4=20$

### 第六題
考點：因數與倍數、等差數列
題目：

詳解：
發現 $1$ 到 $8$ 為等差數列，頭尾兩數相加皆為定值
又若數字要被 $11$ 整除，則奇數位數字與偶數位數字和的差必須為 $11$ 的倍數或 $0$
會發現要湊出來挺容易的，只要讓奇數的數字和偶數的數字皆呈現一頭一尾即可湊出
然後從最高位往下由大到小的數字排即可求出答案
最高位為偶數位，偶數位要放一個 $8$、一個 $1$
最$7$位為奇數位，奇數位要放一個 $2$、奇數放一個 $7$
最$6$位為偶數位，偶數位要放一個 $6$、偶數放一個 $3$
最$5$位為奇數位，奇數位要放一個 $4$、奇數放一個 $5$
數字填完了，把偶數位的數字跟奇數位的數字排序一下，依序填入

| 偶數 | 奇數 |
|:---- | ---- |
| 8 | 7 |
| 6 | 5 |
| 3 | 4 |
| 1 | 2 |

所以答案是：$87653412$

### 第七題
考點：條件機率

題目：
某節目舉辦抽獎遊戲，已知在 $4$ 道門中只有 $1$ 道門後有大獎，其餘 $3$ 道門後都是空空如也。遊戲規則是參加者從中選定 $1$ 道門後，主持人會從剩下沒選的 $3$ 道門中，打開 $1$ 道沒有大獎的門，再讓參加者選擇要不要換門。如果參加者採用最佳策略，則參加者獲得大獎的機率為 ______ 。

詳解：
起初，機率平均分配至四扇門，即任何一扇門後面有大獎之機率均為 $\frac{1}{4}$ ；沒有大獎（大獎在其他門）之機率為 $\frac{3}{4}$ 。
被參加者選定的門中獎機率為 $\frac{1}{4}$ ，主持人打開沒被選到的其中一扇門後，沒被選到的門有大獎的機率和仍為 $\frac{3}{4}$ ，並平均分配給參加者起初沒選且未被打開的兩扇門。故上述兩扇門有大獎之機率均為 $\frac{3}{8}$ 。
題目要求採用最佳策略，因為 $\frac{3}{8}>\frac{1}{4}$ ，故所求為 $\frac{3}{8}$ 。

這是~~顯然~~是三門問題的改編，因為與直覺相悖，當時得到許多討論。以此題為例，多數人的直覺是：主持人打開其中一扇門後，每個門有大獎之機率均為 $\frac{1}{3}$ ，而這是錯誤的。不妨思考為什麼會這樣。

### 第八題
考點：尤拉函數

題目：
將正整數去掉 $2$ 的倍數以及 $3$ 的倍數後，剩餘的數字由小排到大。請問第 $112$ 個數字是 ______ 。

電神學長 Cheng：
經典題，看完這部[影片](https://www.youtube.com/watch?v=NzPVMqfPTos&list=PL0FyKh4eHOB3LPcjWg8VGGQGvlJCpOCEQ&index=4)應該就要會了

Rmk：我們超電的 Cheng 學長看起來在~~甩鍋~~，但是我覺得這一點都不基礎，超難，所以來稍微說明一下。如果你覺得超簡單，表示你超電（或是我超弱QAQ）！

$2$ 和 $3$ 之最小公倍數為 $6$ ，故我們考慮將所有數字模 $6$ 。
若 $a$ 為 $2$ 的倍數，則 $a\equiv 0,2,4\ (\mod\ 6)$
若 $b$ 為 $3$ 的倍數，則 $b\equiv 0,3\ (\mod\ 6)$
若 $x$ 沒被去掉，意即 $x$ 不為 $2$ 或 $3$ 之倍數，則 $x\equiv 1,5\ (mod\ 6)$

### 第九題

待補

### 第十題
考點：遞迴、~~觀察與代代看、猜一猜~~
題目：
詳解：
你可以試著從小的數字代代看，並尋找規律，這並不困難，在此不做贅述。

因為 $f(x)$ 的定義域是整數，考慮將 $f(x)$ 改以 $a_n$ 表示之。則我們有$$a_{n+2}=\frac{1+a_n}{1-a_n}$$
設 $b_n=a_{\frac{n}{2}},\text{if}\ n\ \text{is even},$ $c_n=a_{\frac{n+1}{2}},\text{if}\ n\ \text{is odd}.$
由假設不難得知 $b_1=5,c_1=3$ ，且 $b_n$ 和 $c_n$ 的遞迴關係相同，這裡以 $b_n$ 為例。
遞迴關係為$$b_{n+1}=\frac{1+b_n}{1-b_n}$$

### 第十一題

待補

### 第十二題

待補

### 計算一
考點：代數證明

解答有附題解

### 計算二
考點：等差級數、列方程式、因數與倍數

假設上層有 $x$ 塊、下層有 $y$ 塊
可列出：$(x + y)(y - x + 1)/2 = 52,\ (x + y)(y - x + 1) = 104$
我們可得知上層和下層塊數和乘上層數要等於 $104$
找出 $104$ 的因數：

| 層數 | 上下塊數和 | 情形 |
| ---- |:---------- |:-------------------------------- |
| 1 | 104 | 全部放一層 |
| 2 | 52 | 連續兩數相加不可能是偶數 |
| 4 | 26 | 無符合整數 |
| 8 | 13 | $x = 3,\ y = 10$，符合題意要求|

剩下的不列出，因為不可能層數比上下塊數和還要多
所以可得出答案為：$2$ 種、最高 $8$ 層

### 計算三

待補

### 計算四

解答有附題解