[ToC]

# 01-數與式

## 能力01-實數

### [珍藏] 循環小數為有理數
:::info
若 $a,b,c,d,e,f$ 為 $0$ ~ $9$ 的整數，則 $a.bc\overline{def}= \frac{\overbrace{abcdef}^{全部} - \overbrace{abc}^{沒循環}}{\underbrace{999}_{有循環}\underbrace{00}_{沒循環}}$
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:::spoiler 說明
令 $x=a.bc\overline{def}$

則$100x=abc.\overline{def}$

且$100000x=abcdef.\overline{def}$

當$100000x-100x=abcdef.\overline{def}-abc.\overline{def}=abcdef-abc$

則$99900x=abcdef-abc$

得$x = \frac{abcdef - abc}{99900}$
###### tags: `循環小數` `有理數`
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### [珍藏] 無理數運算性質
:::info
1. 若 $a,b,c,d$ 為有理數，當 $a+b\sqrt{2}=c+d\sqrt{2}$ 時，則 $a=c$ 且 $b=d$。
2. 若 $a,b,c,d$ 為整數，當 $a+b\sqrt{2}=c+d\sqrt{2}$ 時，則 $a=c$ 且 $b=d$。
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:::spoiler 說明
1. 若 $a=c$ 且 $b=d$ ，則 $a+b\sqrt{2}=c+d\sqrt{2}$
2. 令 $a+b\sqrt{2}=c+d\sqrt{2}$
若 $a\neq c$，則 $（b-d)\sqrt{2}=c-a$ $\Rightarrow$ $\sqrt{2}=\frac{c-a}{b-d}$ $\in Q$ 矛盾(假設錯誤)
###### tags: `無理數` `數系` `封閉性`
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### [珍藏] 雙根號化簡運算
:::info
1. 若 $a,b\ge 0$ 時，則 $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$。
2. 若 $a\ge b\ge 0$ 時，則 $\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$。
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:::spoiler 說明
$\sqrt{a+b\pm 2\sqrt{ab}}$ $=\sqrt{{{(\sqrt{a})}^{2}}+{{(\sqrt{b})}^{2}}\pm 2\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}}$ $=\sqrt{{{(\sqrt{a}\pm \sqrt{b})}^{2}}}$ $=|\sqrt{a}\pm \sqrt{b}|$ $=\sqrt{a}\pm \sqrt{b}$
###### tags: `無理數` `化簡` `平方根`
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### [經典] 分點公式
:::info
若 $A(a),B(b),P(x)$ 且 $\overline{PA}:\overline{PB}=m:n$ $(m>n$,$a<b)$ 時，
1. 內分點公式：當 $P\in \overline{AB}$，則 $x=\frac{mb+na}{m+n}$。

2. 外分點公式：當 $P\notin \overline{AB}$，則 $x=\frac{mb-na}{m-n}$。 

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:::spoiler 說明
1. 由 $\overline{PA}:\overline{PB}=m:n$ 與 $a<x<b$ $\Rightarrow (x-a):(b-x)=m:n$ $\Rightarrow mb+na=mx+nx$ $\Rightarrow x=\frac{mb+na}{m+n}$
2. 由 $\overline{PA}:\overline{PB}=m:n$ 與 $a<b<x$ $\Rightarrow (x-a):(x-b)=m:n$ $\Rightarrow mb-na=mx-nx$ $\Rightarrow x=\frac{mb-na}{m-n}$

###### tags: `數線` `內分點` `外分點`

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### [經典] 平方公式
:::info
1. $(a+b)^2$$=a^2+2ab+b^2$$=(a-b)^2+4ab$ $\Rightarrow a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
2. $(a-b)^2$$=a^2-2ab+b^2$$=(a+b)^2-4ab$ $\Rightarrow a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$
3. $(a+b)(a-b)={{a}^{2}}-{{b}^{2}}$
4. ${{(a+b+c)}^{2}}$ $={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2(ab+bc+ca)$
5. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca$ $=\frac{1}{2}[{{(a-b)}^{2}}+{{(b-c)}^{2}}+{{(c-a)}^{2}}]$
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:::spoiler 說明
5. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca$
$=\frac{1}{2}[2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)]$
$=\frac{1}{2}[(a^2-2ab+b^2)$$+(b^2-2bc+c^2)$$+(c^2-2ca+a^2)]$
$=\frac{1}{2}[{{(a-b)}^{2}}+{{(b-c)}^{2}}+{{(c-a)}^{2}}]$
###### tags: `平方公式` `配方法` `和平方` `差平方` `平方差` `平方和` `因式分解` `三項和平方`

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### [經典] 立方公式
:::info
1. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}$
$={{(a+b)}^{3}}-3ab(a+b)$ $=(a+b)({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}})$
2. ${{a}^{3}}-{{b}^{3}}$
$={{(a-b)}^{3}}+3ab(a-b)$ $=(a-b)({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}})$
3. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc$
$= {(a + b)^3} + {c^3} - 3ab(a+b+ c)$
$=(a+b+c)({{a}^{2}}+{{b}^{2}}$$+{{c}^{2}}$$-ab-bc-ac)$
$=(a+b+c)\frac{1}{2}[{{(a-b)}^{2}}$$+{{(b-c)}^{2}}$$+{{(c-a)}^{2}}]$
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:::spoiler 說明
3. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc$
$={{(a+b)}^{3}}-3ab(a+b)+{{c}^{3}}-3abc$
$= {(a + b + c)^3} - 3(a + b)c(a + b + c)$$- 3ab(a + b + c)$
$= (a + b + c)[{(a + b + c + )^2} - 3(ab + bc + ca)]$
$= (a + b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca)$

###### tags: `立方和` `立方差` `三項立方和` `因式分解`
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### 測驗時光-[隨看隨練](https://forms.gle/7FRYfvaq5aQvHa1a9)-實數

## 能力02-絕對值

### [經典] 數線不等式
:::info
1. $|\ x-\frac{M+m}{2}\ |\ \le \ \frac{M-m}{2}$ $\Rightarrow \ \ m\le x\le M$
2. $|\ x-\frac{M+m}{2}\ |\ \ge \ \frac{M-m}{2}$ $\Rightarrow \ \ x\ge M\ 或\ x\le m$
:::
:::spoiler 說明
1. $|\ x-\frac{M+m}{2}\ |\ \le \ \frac{M-m}{2}$ $\Rightarrow \ \frac{m-M}{2}\ \le \ x-\frac{M+m}{2}\ \le \ \frac{M-m}{2}$ $\Rightarrow \ \ m\le x\le M$
2. $|\ x-\frac{M+m}{2}\ |\ \ge \ \frac{M-m}{2}$ $\Rightarrow \ x-\frac{M+m}{2}\ \ge \ \frac{M-m}{2}$ 或 $x-\frac{M+m}{2}\ \le \ \frac{m-M}{2}$ $\Rightarrow \ \ x\ge M$ 或 $x\le m$
###### tags: `數線` `極值` `範圍`
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### [經典] 絕對值不等式
:::info
1. $\ |a|+|b|\ \ge |a+b|$
2. $\ |a-b|\ \ge \ |a|-|b|$
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:::spoiler 說明
1. $\ |a|+|b|\ \ge |a+b|$
$(|a|+|b|)^2-(|a+b|)^2$$=(a^2+b^2+2|ab|)-\ {(a+b)^2}$ $=(a^2+b^2+2|ab|)-\ (a^2+b^2+2ab)$ $=2(|ab|-\ ab)$ $\ge 0$
$\therefore \;{(|a| + |b|)^2} \ge {(|a + b|)^2}$ $\Rightarrow |a| + |b|\; \ge \;|a + b|$
2. $\ |a-b|\ \ge \ |a|-|b|$
$\because \ |a|+|b|\ \ge \ |a+b|$
$\therefore \ |(a-b)|+|b|\ \ge \ |(a-b)+b|$ $\Rightarrow \ |a-b|\ \ge \ |a|-|b|$

###### tags: `數線` `內分點` `外分點`
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### [經典] 算幾不等式
:::info
若 $a\ge 0\ ,\ b\ge 0$ 時，則 $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$。
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:::spoiler 說明
[代數]
$\frac{{a + b}}{2} - \sqrt {ab}$ $= \frac{{a + b - 2\sqrt {ab} }}{2}$ $=\frac{{{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{2}}}{2}\ \ge 0$ $\therefore \ \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$
[幾何]
 $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$
###### tags: `算術平均數` `幾何平均數` `極值` `算幾不等式` `最大值` `最小值`
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### [例題] 乘法公式
:::info
因式分解 ${{x}^{5}}+x+1$。
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:::spoiler 說明
${x^5} + x + 1 = ({x^5} - {x^2}) + ({x^2} + x + 1)$
$={{x}^{2}}({{x}^{3}}-1)+({{x}^{2}}+x+1)$
$={{x}^{2}}(x-1)({{x}^{2}}+x+1)+({{x}^{2}}+x+1)$
$=({{x}^{2}}+x+1)[\ {{x}^{2}}(x-1)+1\ ]$
$=({{x}^{2}}+x+1)({{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1)$

###### tags: `乘法公式`
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