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# System prepended metadata

title: 02-指數、對數函數
tags: [底數介於零到一之間, 有理數指數, 底數大於零, 科學記號, 指數運算, 有理數, 整數指數, 常用公式, 底數大於一, 循環小數, 指數]

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[ToC]



# 02-指數、對數函數
## 能力01-指數
### [珍藏] 整數指數
:::info
1. 若 $a\in \mathbb{R}\ ,\ \ n\in \mathbb{N}$，則 ${{a}^{n}}$$=a\times a\times a\times \cdots \times a$ (自乘n次)。
2. 若 $a\in \mathbb{R}\ ,\ \ a\ne 0$，則 ${{a}^{0}}=1$。
3. 若 $a\in \mathbb{R}$ 且 $a\ne 0\ ,\ \ n\in \mathbb{N}$，則 ${{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}$。
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:::spoiler 說例
 $\begin{align}
 & {{2}^{10}}=1024 \\ 
 & {{(\sqrt{2})}^{0}}=1 \\ 
 & {{(-3)}^{-3}}=\frac{1}{-27} \\ 
\end{align}$
###### tags: `指數` `整數指數` 
:::
### [珍藏] 有理數(實數)指數
:::info
若 $a>0\ ,\ \ n\in \mathbb{N}\ ,\ \ m\in \mathbb{Z}$，則 ${{a}^{\frac{m}{n}}}={{(\sqrt[n]{a})}^{m}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}$
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:::spoiler 說例
${{2}^{5}}={{2}^{\frac{10}{2}}}=\sqrt{{{2}^{10}}}={{(\sqrt{2})}^{10}}$
###### tags: `有理數指數` `底數大於零` 
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### [珍藏] 乘法公式與指數律
:::info
1. ${{a}^{x}}\ \cdot \ {{a}^{y}}={{a}^{x+y}}$
2. $\frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}}={{a}^{x-y}}$
3. ${{({{a}^{x}})}^{y}}={{a}^{xy}}={{({{a}^{y}})}^{x}}$
4. ${{(ab)}^{x}}={{a}^{x}}{{b}^{x}}$
5. ${{\text{(}\frac{a}{b}\text{)}}^{x}}=\frac{{{a}^{x}}}{{{b}^{x}}}$
6. ${{a}^{x}}+{{a}^{-x}}\ge 2$
7. ${{a}^{2x}}+{{a}^{-2x}}$$={{({{a}^{x}}+{{a}^{-x}})}^{2}}-2$
8. ${{a}^{3x}}+{{a}^{-3x}}$$={{({{a}^{x}}+{{a}^{-x}})}^{3}}$$-3({{a}^{x}}+{{a}^{-x}})$
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:::spoiler 說明
###### tags: `指數運算` `常用公式` 
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### [珍藏] 指數比大小
:::info
1. 若 $a\ ,\ x\ ,\ y\in \mathbb{R}\ ,$ $a>1\ ,\ \ x>y$，則 ${{a}^{x}}>{{a}^{y}}$
2. 若 $a\ ,\ x\ ,\ y\in \mathbb{R}\ ,$ $0<a<1\ ,\ \ x>y$，則 ${{a}^{x}}<{{a}^{y}}$
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:::spoiler 說明
###### tags: `底數大於一` `底數介於零到一之間` 
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### [珍藏] 指數型成長與衰減
:::info
1. 成長：${{N}_{t}}={{N}_{0}}{{R}^{t}}$
        (其中 ${{N}_{t}}$為經過$t$時間後的量、$t$為時間、$R$ 為成長率)
2. 衰減：$m=M{{(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}}$
        (其中 $m$ 為經過$t$時間後的量、$t$為時間、$T$為半衰期、$M$初始數量)
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:::spoiler 說例
###### tags: `循環小數` `有理數` 
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## 能力02-常用對數
### [珍藏] 科學記號
:::info
1. 將一個數值寫成 $a\times {{10}^{n}}$ 的型式
2. 其中 $1\le a<10$
3. $n$ 為整數
4. 稱 $a\times {{10}^{n}}$ 為此數值的科學記號
5. $a$ 的部分皆為有效數字
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:::spoiler 說例
###### tags: `科學記號` 
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### [珍藏] 位數
:::info
科學記號 $x=a\times {{10}^{n}}$ 中，
當 $n\ge 0$ 時，$x$ 的整數部分為 $n+1$ 位數，$x$ 的最高位數字為 $a$ 的整數部分。
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:::spoiler 說明
###### tags: `循環小數` `有理數` 
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### [珍藏] 小數點後第幾位開始不為 0
:::info
科學記號 $x=a\times {{10}^{n}}$ 中，
當 $n<0$時，$x$ 為純小數，$x$ 自小數點後第 $|n|$ 位開始不為 $0$，且此數字為 $a$ 的整數部分。
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:::spoiler 說明

###### tags: `循環小數` `有理數` 
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### [珍藏] 常用對數
:::info
定義：若正數 $x={{10}^{a}}$，則 $a$ 稱為 $x$ 的常用對數，      符號記為 $a=\log x$

性質：
1. $k={{10}^{\log k}}$ 
2. $\log {{10}^{a}}=a$
   
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:::spoiler 說明
###### tags: `循環小數` `有理數` 
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### [珍藏] 對數與指數律
:::info
1. 若正數 $x=a\times {{10}^{n}}$，其中 $1\le a<10$ ，$n$ 為整數，則 $\log x=n+\log a$ ，此時 $n$ 為整數，$0\le \log a<1$
2. 當 $n\ge 0$ 時，$x$ 的整數部分為 $n+1$ 位數。
3. 當 $n<0$時，$x$ 為純小數，$x$ 自小數點後第 $|n|$ 位開始不為 $0$。

   
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:::spoiler 說明
###### tags: `循環小數` `有理數` 
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### [珍藏] 對數應用-地震規模(芮氏規模)
:::info
1. 地震規模和能量之間的關係式：$\log E=11.8+1.5M$。 
2. $E$：能量，$M$：地震規模。
3. $E={{10}^{11.8+1.5M}}$

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:::spoiler 說明
###### tags: `循環小數` `有理數` 
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### [珍藏] 對數應用-酸鹼值(pH值)
:::info
1. pH值：與溶液中氫離子濃度有關
2. 定義：pH$=$$-\log \left[ {{H}^{+}} \right]$。其中$\left[ {{H}^{+}} \right]$ 表示溶液的氫離子濃度(莫耳/升)。
3. 公式：$\left[ {{H}^{+}} \right]$=${{10}^{\log \left[ {{H}^{+}} \right]}}$=${{10}^{-pH}}$
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:::spoiler 說明
###### tags: `循環小數` `有理數` 
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### [珍藏] 對數應用-聲音強度(分貝)
:::info
1. 聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特來衡量。
2. $d$ 與 $I$ 的關係式為 $d=10\times \log \frac{I}{{{I}_{0}}}$。
3. ${{I}_{0}}={{10}^{-12}}\ W/{{m}^{2}}$、$I$：測得聲音強度、$d$：產生的噪音分貝數
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:::spoiler 說明
###### tags: `循環小數` `有理數` 
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### [經典] 對數律
:::info
1. ${{\log }_{a}}M+{{\log }_{a}}N$$={{\log }_{a}}MN$
2. ${{\log }_{a}}M-{{\log }_{a}}N$$={{\log }_{a}}\frac{M}{N}$
3. ${{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{k}}b}{{{\log }_{k}}a}$
4. ${{\log }_{a}}{{b}^{n}}=n{{\log }_{a}}b$
5. ${{\log }_{{{a}^{m}}}}{{b}^{n}}=\frac{n}{m}{{\log }_{a}}b$
6. ${{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}$
7. ${{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b$
8. ${{a}^{{{\log }_{k}}b}}={{b}^{{{\log }_{k}}a}}$
9.  ${{\log }_{a}}b$$={{\log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{n}}$$={{\log }_{\sqrt{a}}}\sqrt{b}$
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:::spoiler 說明
###### tags: `循環小數` `有理數` 
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