02-指數、對數函數

[ToC] # 02-指數、對數函數 ## 能力01-指數 ### [珍藏] 整數指數 :::info 1. 若 $a\in \mathbb{R}\ ,\ \ n\in \mathbb{N}$，則 ${{a}^{n}}$$=a\times a\times a\times \cdots \times a$ (自乘n次)。 2. 若 $a\in \mathbb{R}\ ,\ \ a\ne 0$，則 ${{a}^{0}}=1$。 3. 若 $a\in \mathbb{R}$ 且 $a\ne 0\ ,\ \ n\in \mathbb{N}$，則 ${{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}$。 ::: :::spoiler 說例 $\begin{align} & {{2}^{10}}=1024 \\ & {{(\sqrt{2})}^{0}}=1 \\ & {{(-3)}^{-3}}=\frac{1}{-27} \\ \end{align}$ ###### tags: `指數` `整數指數` ::: ### [珍藏] 有理數(實數)指數 :::info 若 $a>0\ ,\ \ n\in \mathbb{N}\ ,\ \ m\in \mathbb{Z}$，則 ${{a}^{\frac{m}{n}}}={{(\sqrt[n]{a})}^{m}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}$ ::: :::spoiler 說例 ${{2}^{5}}={{2}^{\frac{10}{2}}}=\sqrt{{{2}^{10}}}={{(\sqrt{2})}^{10}}$ ###### tags: `有理數指數` `底數大於零` ::: ### [珍藏] 乘法公式與指數律 :::info 1. ${{a}^{x}}\ \cdot \ {{a}^{y}}={{a}^{x+y}}$ 2. $\frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}}={{a}^{x-y}}$ 3. ${{({{a}^{x}})}^{y}}={{a}^{xy}}={{({{a}^{y}})}^{x}}$ 4. ${{(ab)}^{x}}={{a}^{x}}{{b}^{x}}$ 5. ${{\text{(}\frac{a}{b}\text{)}}^{x}}=\frac{{{a}^{x}}}{{{b}^{x}}}$ 6. ${{a}^{x}}+{{a}^{-x}}\ge 2$ 7. ${{a}^{2x}}+{{a}^{-2x}}$$={{({{a}^{x}}+{{a}^{-x}})}^{2}}-2$ 8. ${{a}^{3x}}+{{a}^{-3x}}$$={{({{a}^{x}}+{{a}^{-x}})}^{3}}$$-3({{a}^{x}}+{{a}^{-x}})$ ::: :::spoiler 說明 ###### tags: `指數運算` `常用公式` ::: ### [珍藏] 指數比大小 :::info 1. 若 $a\ ,\ x\ ,\ y\in \mathbb{R}\ ,$ $a>1\ ,\ \ x>y$，則 ${{a}^{x}}>{{a}^{y}}$ 2. 若 $a\ ,\ x\ ,\ y\in \mathbb{R}\ ,$ $0<a<1\ ,\ \ x>y$，則 ${{a}^{x}}<{{a}^{y}}$ ::: :::spoiler 說明 ###### tags: `底數大於一` `底數介於零到一之間` ::: ### [珍藏] 指數型成長與衰減 :::info 1. 成長：${{N}_{t}}={{N}_{0}}{{R}^{t}}$ (其中 ${{N}_{t}}$為經過$t$時間後的量、$t$為時間、$R$ 為成長率) 2. 衰減：$m=M{{(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}}$ (其中 $m$ 為經過$t$時間後的量、$t$為時間、$T$為半衰期、$M$初始數量) ::: :::spoiler 說例 ###### tags: `循環小數` `有理數` ::: ## 能力02-常用對數 ### [珍藏] 科學記號 :::info 1. 將一個數值寫成 $a\times {{10}^{n}}$ 的型式 2. 其中 $1\le a<10$ 3. $n$ 為整數 4. 稱 $a\times {{10}^{n}}$ 為此數值的科學記號 5. $a$ 的部分皆為有效數字 ::: :::spoiler 說例 ###### tags: `科學記號` ::: ### [珍藏] 位數 :::info 科學記號 $x=a\times {{10}^{n}}$ 中，當 $n\ge 0$ 時，$x$ 的整數部分為 $n+1$ 位數，$x$ 的最高位數字為 $a$ 的整數部分。 ::: :::spoiler 說明 ###### tags: `循環小數` `有理數` ::: ### [珍藏] 小數點後第幾位開始不為 0 :::info 科學記號 $x=a\times {{10}^{n}}$ 中，當 $n<0$時，$x$ 為純小數，$x$ 自小數點後第 $|n|$ 位開始不為 $0$，且此數字為 $a$ 的整數部分。 ::: :::spoiler 說明 ###### tags: `循環小數` `有理數` ::: ### [珍藏] 常用對數 :::info 定義：若正數 $x={{10}^{a}}$，則 $a$ 稱為 $x$ 的常用對數，符號記為 $a=\log x$ 性質： 1. $k={{10}^{\log k}}$ 2. $\log {{10}^{a}}=a$ ::: :::spoiler 說明 ###### tags: `循環小數` `有理數` ::: ### [珍藏] 對數與指數律 :::info 1. 若正數 $x=a\times {{10}^{n}}$，其中 $1\le a<10$ ，$n$ 為整數，則 $\log x=n+\log a$ ，此時 $n$ 為整數，$0\le \log a<1$ 2. 當 $n\ge 0$ 時，$x$ 的整數部分為 $n+1$ 位數。 3. 當 $n<0$時，$x$ 為純小數，$x$ 自小數點後第 $|n|$ 位開始不為 $0$。 ::: :::spoiler 說明 ###### tags: `循環小數` `有理數` ::: ### [珍藏] 對數應用-地震規模(芮氏規模) :::info 1. 地震規模和能量之間的關係式：$\log E=11.8+1.5M$。 2. $E$：能量，$M$：地震規模。 3. $E={{10}^{11.8+1.5M}}$ ::: :::spoiler 說明 ###### tags: `循環小數` `有理數` ::: ### [珍藏] 對數應用-酸鹼值(pH值) :::info 1. pH值：與溶液中氫離子濃度有關 2. 定義：pH$=$$-\log \left[ {{H}^{+}} \right]$。其中$\left[ {{H}^{+}} \right]$ 表示溶液的氫離子濃度(莫耳/升)。 3. 公式：$\left[ {{H}^{+}} \right]$=${{10}^{\log \left[ {{H}^{+}} \right]}}$=${{10}^{-pH}}$ ::: :::spoiler 說明 ###### tags: `循環小數` `有理數` ::: ### [珍藏] 對數應用-聲音強度(分貝) :::info 1. 聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特來衡量。 2. $d$ 與 $I$ 的關係式為 $d=10\times \log \frac{I}{{{I}_{0}}}$。 3. ${{I}_{0}}={{10}^{-12}}\ W/{{m}^{2}}$、$I$：測得聲音強度、$d$：產生的噪音分貝數 ::: :::spoiler 說明 ###### tags: `循環小數` `有理數` ::: ### [經典] 對數律 :::info 1. ${{\log }_{a}}M+{{\log }_{a}}N$$={{\log }_{a}}MN$ 2. ${{\log }_{a}}M-{{\log }_{a}}N$$={{\log }_{a}}\frac{M}{N}$ 3. ${{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{k}}b}{{{\log }_{k}}a}$ 4. ${{\log }_{a}}{{b}^{n}}=n{{\log }_{a}}b$ 5. ${{\log }_{{{a}^{m}}}}{{b}^{n}}=\frac{n}{m}{{\log }_{a}}b$ 6. ${{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}$ 7. ${{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b$ 8. ${{a}^{{{\log }_{k}}b}}={{b}^{{{\log }_{k}}a}}$ 9. ${{\log }_{a}}b$$={{\log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{n}}$$={{\log }_{\sqrt{a}}}\sqrt{b}$ ::: :::spoiler 說明 ###### tags: `循環小數` `有理數` :::