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# Dynkinのπ-λ定理

[さんすうのーと(5) ―Dynkinのπ-λ定理](http://32-mathg.hatenablog.com/entry/2018/11/06/212225)

## Definition(πシステム，λシステム)

$\mathcal{P} \subset 2^X$ が次の条件を満たすとき，$\mathcal{P}$ は**πシステム**であるという：

$$\forall A,~ \forall B \in \mathcal{P}, \quad A \cap B \in \mathcal{P} $$

また，$\mathcal{L} \subset 2^X$ が次の3つの条件(L1)～(L3)を満たすとき，$\mathcal{L} \subset 2^X$ は**λシステム**であるという：

$X \in \mathcal{L} \tag{L1}$

$\forall A,~ \forall B \in \mathcal{L}, \quad A \subset B~ \Rightarrow ~B \setminus A \in \mathcal{L} \tag{L2}$

$\forall \{A_j\}_{j \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{L},\quad \{A_j\}が互いに素~ \Rightarrow ~\bigcup_j A_j \in \mathcal{L} \tag{L3}$ $\square$

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## Theorem(Dynkinのπ-λ定理)

$X$ を集合，$\mathcal{P}, \mathcal{L} \subset 2^X$ はそれぞれπシステム，λシステムとする．このとき，
$$ \mathcal{P} \subset \mathcal{L} \quad \Longrightarrow \quad \sigma[\mathcal{P}] \subset \mathcal{L} $$
が成り立つ．$\square$

## Proof

$\mathcal{A} \subset 2^X$ に対して，$\lambda [\mathcal{A}]$ を「$\mathcal{A}$ を含む最小のλシステム」とする．

実際，このようなλシステム $\lambda [\mathcal{A}]$ は存在する．

$\{ \mathcal{L}_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}$ を $\mathcal{A}$ を含むλシステム全体からなる集合族とすると，$2^X$ が明らかに $\mathcal{A}$ を含むλシステムであるから $\Lambda \ne \emptyset$ である．

$\bigcap_{\lambda \in \Lambda} \mathcal{L}_\lambda$ はλシステムであり，定め方よりこれは $\mathcal{A}$ を含む最小のλシステムであるから，$\lambda [\mathcal{A}]$ の存在性が言えた．

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仮定より $\lambda [\mathcal{P}] \subset \mathcal{L}$ なので，$\sigma [\mathcal{P}] = \lambda [\mathcal{P}]$ を示せば十分である．

σ加法族はλシステムでもあるので，$\lambda [\mathcal{P}] \subset \sigma [\mathcal{P}]$ は明らかである．

以下，$\lambda [\mathcal{P}] \supset \sigma [\mathcal{P}]$であることを示す．

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<u>Step 1</u>

$A \in \mathcal{P}$ を任意にとり， $\Gamma_A := \{ B \in \lambda [\mathcal{P}] ~;~ A \cap B \in \lambda [\mathcal{P}] \}$ とおく．

このとき，$\Gamma_A = \lambda [\mathcal{P}]$ であることを示す．

これが示されると，「$\forall A \in \mathcal{P},~ \forall B \in \lambda [\mathcal{P}],~ A \cap B \in \lambda [\mathcal{P}]$」であることが分かる．

明らかに $\Gamma_A \subset \lambda [\mathcal{P}]$ であるので，$\Gamma_A \supset \lambda [\mathcal{P}]$ を示せばよい．

まず，仮定より $\mathcal{P}$ がπシステムであるから，$\Gamma_A$ の定義より $\mathcal{P} \subset \Gamma_A$ である．

次に，$\Gamma_A$ がλシステムであることを示す．

(1) $X \cap A = A \in \mathcal{P}$ より，$X \in \Gamma_A$ である．

(2) $B \subset C$ なる $B,C \in \Gamma_A$ をとる．このとき，

$$A \cap (C \setminus B) = (A \cap C) \cap B^c = (A \cap C) \cap (A^c \cup B^c) = (A \cap C) \setminus (A \cap B)$$

となる．

$A \cap B,~ A \cap C \in \lambda [\mathcal{P}]$ であり，かつ $A \cap B \subset A \cap C$ であるから，$\lambda[\mathcal{P}]$ がλシステムであることに注意すると $A \cap (C \setminus B) \in \lambda[\mathcal{P}]$ が分かる．

よって，$C \setminus B \in \Gamma_A$ がいえた．

(3) 互いに素となる $\{B_j\}_{j \in \mathbb{N}} \subset \Gamma_A$ をとる．

このとき，$A \cap \left( \bigcup_j B_j \right) = \bigcup_j (A \cap B_j)$ である．

$A \cap B_j \in \lambda[\mathcal{P}]$ であり，かつ $\{A \cap B_j \}$ が互いに素であることから $A \cap \left( \bigcup_j B_j \right) \in \lambda[\mathcal{P}]$ が分かる．

よって，$\bigcup_j B_j \in \Gamma_A$ がいえた．

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以上，(1)～(3)より $\Gamma_A$ がλシステムであることが示された．

これと $\mathcal{P} \subset \Gamma_A$ と合わせて $\lambda[\mathcal{P}] \subset \Gamma_A$ を得る．

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<u>Step 2</u>

$A \in \lambda[\mathcal{P}]$ を任意にとり， $\widetilde{\Gamma}_A := \{ B \in \lambda [\mathcal{P}] ~;~ A \cap B \in \lambda [\mathcal{P}] \}$ とおく．

このとき，$\widetilde{\Gamma}_A = \lambda [\mathcal{P}]$ であることを示す．

これが示されると，$\lambda [\mathcal{P}]$ が有限交差で閉じている，つまりπシステムであることが分かる．

$\widetilde{\Gamma}_A \subset \lambda[\mathcal{P}]$ は明らかなので，$\widetilde{\Gamma}_A \supset \lambda[\mathcal{P}]$ を示す．

Step 1より「$\forall B \in \mathcal{P},~ A \cap B \in \lambda[\mathcal{P}]$」であるから，$\mathcal{P} \subset \widetilde{\Gamma}_A$ が成り立つ．

$\widetilde{\Gamma}_A$ がλシステムであることはStep 1と全く同様に示せるので，$\lambda[\mathcal{P}] \subset \widetilde{\Gamma}_A$ を得る．

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<u>Step 3</u>

$\lambda [\mathcal{P}]$ がσ加法族であることを示す．

これが示されると， $\lambda [\mathcal{P}] \supset \sigma [\mathcal{P}]$ であることが分かり，定理が示される．

$X \in \lambda [\mathcal{P}]$ は明らかであり，「$A \in \lambda [\mathcal{P}] \Rightarrow A^c \in \lambda [\mathcal{P}]$」もλシステムの性質より明らかである．

「$\{A_j\}_{j \in \mathbb{N}} \subset \lambda [\mathcal{P}] \Rightarrow \bigcup_j A_j \in \lambda [\mathcal{P}]$」を示す．

$\{A_j\} \subset \lambda [\mathcal{P}]$ をとり，$\{B_j\}$ を次のように定める：

$$B_1 := A_1, \quad B_j := A_j \setminus \left( \bigcup_{k=1}^{j-1} A_k \right)~(j \ge 2)$$

$j \ge 2$ に対し，$B_j = A_j \cap (\bigcap_k {A_k}^c)$ であるが，Step 2より $\lambda [\mathcal{P}]$ はπシステムであったから $B_j \in \lambda [\mathcal{P}]$ が成り立つ．

定め方より $\{B_j\}$ は互いに素なので，$\bigcup A_j = \bigcup B_j \in \lambda [\mathcal{P}]$ がいえた．

以上より，$\lambda [\mathcal{P}]$ はσ加法族である．$\square$

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## 活用例

π-λ定理は測度の拡張が一意的にできることを示すのに使われます．

具体的には，πシステム $\mathcal{P}$ と $\sigma [\mathcal{P}]$ 上の2つの測度 $\mu,~ \nu$ について，「$\mathcal{P}$ 上で $\mu=\nu$ であれば，$\sigma [\mathcal{P}]$ 上でも $\mu = \nu$ となる」という主張を示すのにπ-λ定理が役に立ちます．

(上の主張はσ有限性などの細かい条件を省いているので，詳しく知りたい人は各自調べてください．)

例えば，$\mathbb{R}$ 上の半開区間全体の集合 $\mathcal{I}$ がπシステムになっており，さらに$\mathcal{B}(\mathbb{R}) = \sigma [\mathcal{I}]$ が成り立ちます．

よって，$\mathcal{I}$ 上で測度の値を定めてやるだけで，それを $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ 上に一意的に拡張できる訳です．

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今回は，確率論における応用例を取り上げてみようと思います．

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### Proposition

実数値確率変数の族 $\{X_1, X_2, \dots, X_n, Y\}$ が独立であるとする．このとき，$\mathbb{R}^n$値確率変数 $X := (X_1, \dots, X_n)$ と $Y$ は独立となる．

つまり，次が成り立つ：

$$\forall A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n),~ \forall B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}),~ \mathbb{P}(X \in A,~ Y \in B) = \mathbb{P}(X \in A)~ \mathbb{P}(Y \in B)$$ $\square$

### Proof

$B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ を任意にとり，

$$\mathcal{A}_B := \{A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) ~;~ \mathbb{P}(X \in A,~ Y \in B) = \mathbb{P}(X \in A)~ \mathbb{P}(Y \in B) \}$$

とおく．

$\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \subset \mathcal{A}_B$ であることを示せばよい．

任意の $\prod_{k=1}^n A_k \in \prod_{k=1}^n \mathcal{B}(\mathbb{R})$ に対して，独立性より

\begin{align}
\mathbb{P} \left( X \in \prod_k A_k,~ Y \in B \right) &= \mathbb{P}(X_1 \in A_1, \dots, X_n \in A_n, Y \in B) \\
&= \left( \prod_k \mathbb{P}(X_k \in A_k) \right) \mathbb{P}(Y \in B)\\
&= \mathbb{P}\left(X \in \prod_k A_k \right)~ \mathbb{P}(Y \in B)
\end{align}

となる．

よって，$\prod_{k=1}^n \mathcal{B}(\mathbb{R}) \subset \mathcal{A}_B$ であり，簡単に $\prod \mathcal{B}(\mathbb{R})$ がπシステムであることが分かる．

$\mathcal{A}_B$ がλシステムであることを示す．

$\mathbb{R}^n \in \mathcal{A}_B$ は明らかである．

$A_1 \subset A_2$ なる $A_1,~ A_2 \in \mathcal{A}_B$ をとる．

$X^{-1}(A_1) \subset X^{-1}(A_2)$ であることに注意すると，

\begin{align}
\mathbb{P}(X^{-1}(A_2 \setminus A_1) \cap Y^{-1}(B)) &= \mathbb{P}(X^{-1}(A_2) \cap Y^{-1}(B)) - \mathbb{P}(X^{-1}(A_1) \cap Y^{-1}(B))\\
&= \mathbb{P}(X^{-1}(A_2)) \mathbb{P}(Y^{-1}(B)) - \mathbb{P}(X^{-1}(A_1)) \mathbb{P}(Y^{-1}(B))\\
&= \mathbb{P}(X^{-1}(A_2 \setminus A_1)) \mathbb{P}(Y^{-1}(B))
\end{align}

となり，$A_2 \setminus A_1 \in \mathcal{A}_B$ が分かる．

互いに素な $\{A_k\} \in \mathcal{A}_B$ に対して，$\bigcup_k A_k \in \mathcal{A}_B$ となることも，測度の性質を利用して上と同様に示される(各自確かめてみてください)．

これで，$\mathcal{A}_B$ がλシステムであることが示された．

よって，π-λ定理より $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) = \sigma [\prod \mathcal{B}(\mathbb{R})] \subset \mathcal{A}_B$ がいえた．$\square$

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測度の性質とλシステムの性質がうまくマッチしているような気がします．

これを狙ってπ-λ定理のようなものが考えられたんですかねぇ．