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# 論文のメモ

$\DeclareMathOperator{\real}{\mathrm{Re}}
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## 1. Introduction

## 2. A lattice on $\setR^d$

* $VV^\top$が正則であることの証明：

## 3. An equilibrium model

### 3.1 Setup

* デリバティブのペイオフ$H^{D,i}~(i=1,\dots,d-1)$は$X^1, \dots, X^{i+1}$に依存するように定めているが、これは「番号$i$が大きいほど、より多くのリスクに関連する複雑な商品となる」といった状況を考えている。

* 仮定「$\langle w_0, \dots, w_{i-1} \rangle = \langle e_1, \dots, e_i \rangle$」のイメージ図(図中の$v_i$は$w_i$のミス)：

* 仮定「$\langle w_0, \dots, w_{i-1} \rangle = \langle e_1, \dots, e_i \rangle$」は、後のマルチンゲール表現定理に出てくる$(d-1) \times d$行列$\kappa_n$が下三角行列のような形 (i.e. 下三角行列の第1行目を取り除いた形)にするための仮定である。より具体的にはLemma 2.7の力を借りて、Proposition 2.6中で出てくる連立方程式の解の存在性を保証している。$\kappa_n$がそのような形をすると、$i$番目のデリバティブ価格$P^i$が$\Delta X^1, \dots, \Delta X^i$の線形結合の形で表される。

* ちなみに、$\kappa_n$の形に特に制約を課さない場合でも、$d$次正方行列$(e_1, (\kappa_n)^\top)$が正則であるという仮定があれば、FOC(3.8)の導出までは可能である。

### 3.3 BS$\Delta$E for a dynamic risk measure

* $f(x):=(x+b)^q - b^q$とおく。$f(0)=0, f'(x)=q(1+b)^{q-1}$より\begin{equation}
f(c) \le q(x+b)^{q-1} c \quad (c>0)\end{equation}　$c = a-b$ として$a^q - b^q \le qa^{q-1}(a-b)$。よって、\begin{equation} ||z|^q - |w|^q| \le q (|z|\vee|w|)^{q-1}|z-w| \end{equation}

* Assumption 3.9の条件3は、後に定義されるドライバー$G(n,p,z)$の最小が達成されることを保証するための条件。条件4について、例えば$g(n,z) := |z|^2$を考えると、$\rho_n(\xi) := Y_n$が単調性を満たさないことが分かっている(Stadje & Cheridito)。

* Remark 3.11にて比較定理の反例をあげているが、これはStadje & Cheriditoで用いられてる反例を少しだけ一般化させてものである。パラメータ$\sigma$を調整したら定数$a$の満たすべき条件がもっとシンプルになると思ったけど、これ以上シンプルにできそうではありませんでした。

### 3.4 Risk-Premium in Equilibrium

* Theorem 3.19において、ドライバー$\bar{G}^{ab}$中に出てくる$\Pi^{ab,i}~(i=1,\dots,m)$を事前に定めておく必要がある。本論文では、$\inf_{p^{(m)} \in \setR^m} G^{ab}(n, p^{(m)}, z)$のミニマイザーが一意に定まることを利用して、$\Pi^{ab,i}$をそのミニマイザーとなるように定めている。ここで、$(e_1,(\kappa_n)^\top )$が上三角行列であるおかげで、ミニマイザー$\Pi^{ab,i}~(i=1,\dots,m)$を定めるFOC(3.11)を導出することが可能となっている。もし、$(e_1,(\kappa_n)^\top )$が一般的な正則行列である場合、依然として$\inf_{p^{(m)} \in \setR^m} G^{ab}(n, p^{(m)}, z)$のミニマイザーは一意に存在するが、そのミニマイザーは$\mu_n^i~(i=m+1, \dots,d)$に依存してしまう(これらの$\mu_n^i$は事前に与えらえていない)。つまり、$\Pi^{ab,i}~(i=1,\dots,m)$を定めるFOCは式(3.11)のような形にならない。ただ、そのようなことを考えなくても、シンプルに式(3.11)を未知変数$m$個の連立方程式とみなし、その解として$\Pi^{ab,i}$が一意に存在すればよい。ただ、$g^{ab}$に課されている条件からこのことが言えるかどうかは、今の私にはわかりません。