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# 期末專題-碰撞與$\pi$的關係
## 專題說明
$\qquad$碰撞是高中物理的一部份，也是生活常見到的物理現象，請觀看以下以片，我們接下來來探討影片中的現象，便對其關係做延伸討論
影片網址:https://www.youtube.com/watch?v=HEfHFsfGXjs
{%youtube HEfHFsfGXjs %}
## 分析原因
$\qquad$讓我們開始分析為何會有這樣的結果。首先，速度以右為正，並且我們標記最右側(質量較大)的方塊$a$質量為$m_1$，中間的方塊$b$質量為$m_2$，$a、b$接下來的速度標記為$v_{a_k}、v_{b_k}$以及初始速度為$v_{a_i}$，碰撞過程中變化的速度，並且假設全成為完全彈性碰撞。
$\qquad$根據動量守恆，我們在接下來的碰撞過程中可以得到下列結果。
\begin{gather*}
m_1v_{a_k}+m_2v_{b_k}=m_1v_{a_i}
\end{gather*}
$\qquad$根據機械能守恆，我們在接下來的碰撞過程中可以得到下列結果。
\begin{gather*}
\frac{1}{2}m_1v^2_{a_k}+\frac{1}{2}m_2v^2_{b_k}=\frac{1}{2}m_1v^2_{a_i}
\end{gather*}
$\qquad$因為為完全彈性碰撞，所以總動量與總動能恆為定值，我們分別標記為
$\qquad P_{total}=m_1v_{a_i}、E_{total}=\frac{1}{2}m_1v^2_{a_i}$
$\qquad$透過代數解法，我們可以知道之後的$v_{a_k}$跟$v_{b_k}$可以利用以下的公式表示，這有利於我們待會利用$C$語言去判別及計算碰撞次數。
\begin{gather*}
v_{a_k}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{a_{k-1}}+\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_{b_{k-1}}~;~ v_{b_k}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{a_{k-1}}+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_{b_{k-1}}
\end{gather*}
其中$v_{a_0}=v_{a_i},~v_{b_0}=0, k~$為第幾次碰撞。
$\qquad$接下來我們利用幾何的解法來看這道問題，另$y=\sqrt{m_1}v_{a_k},~ x=\sqrt{m_2}v_{b_k}$，則總動量跟總動能則可以改寫成
\begin{gather*}
\sqrt{m_1} y+\sqrt{m_2} x=P_{total}~;~y^2+x^2=2E_{total}
\end{gather*}
$\qquad$這很明顯是一條直線跟一個圓，而圓跟直線的焦點就是碰撞之前跟之後的結果，並且我們可以得到這張圖
+++
圖中的$\theta$為此直線傾角的補角，也是他截出來的圓弧的圓周角

$\qquad$接下來我們可以發現兩件事，第一，當$b$與牆壁碰撞時，$b$的速度與原先相同但方向相反；第二，所有$a,b$碰撞所創造出來的斜率跟其速度無關，只跟質量有關，斜率均為$-\frac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1}}$。並且，我們可以得到$\theta=\tan^{-1}\frac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1}}$並得到下列這張圖
圖中$\theta$與$\theta'$只有當最後一次碰撞的速度點為$(-v_{a_i},0)$才會相等，且當$\theta < \frac{\pi}{4}$的時候，$\theta > \theta'$(圖片僅供參考)
+++
這時我們就可以連結碰撞與$\pi$的關係了，由途中$\theta$與圓弧的關係我們可以知道，碰撞過程中的圓弧角度均為$\theta$，且整個碰撞完所圍成的圓弧當$\theta < \frac{\pi}{4}$時，是小於$2\pi$的，而剩餘的圓弧是小於碰撞過程所產生的圓弧的，所以我們可以推導出下列式子(r為此圓半徑，N為碰撞次數)
$2\theta r\times N < 2\pi r$
$2\theta r\times (N+1) > 2\pi r$
$\longrightarrow$
:::success
$\frac{\pi}{\theta}-1 < N < \frac{\pi}{\theta}$
:::
又$\theta=\tan^{-1}\frac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1}}$
:::success
$\frac{\pi}{\tan^{-1}\frac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1}}}-1 < N < \frac{\pi}{\tan^{-1}\frac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1}}}$
:::
這時，因為當$\theta\to 0，\tan\theta\approx\theta$，所以我們可以得到
:::success
$\frac{\pi}{\frac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1}}}-1 < N < \frac{\pi}{\frac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1}}}$
:::
因此
:::success
\begin{gather*}
N=\frac{\pi}{\frac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1}}}=\frac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{m_2}}\pi(取整數部分
\end{gather*}
:::
所以碰撞次數才會出現$\pi$的小數點後幾位。各位可以利用下列程式碼是看看，你會發現這跟你輸入的速度數值無關，而跟質量方根比有關
:::warning
注意:碰撞次數為整數，所以它只會顯現出$\frac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{m_2}}\pi$的整數部分
:::

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define n 1
#define N 2
double collision(double M[n],double m[n],double V[N],double v[N]);
int main() {
	double M[n] = { 0 }, m[n] = { 0 }, V[N] = { 0 }, v[N] = { 0 };
	double T = 0;
	/*input the value of M,m,V*/
	printf("Input the value of weight of square-a\n");
	scanf_s("%lf", &M[0]);
	printf("Input the value of weight of square-b\n");
	scanf_s("%lf", &m[0]);
	printf("Input the value of speed of square-a\n");
	scanf_s("%lf", &V[0]);
	/*prevent the wrong value*/
	if (M[0] <= 0) {
		printf("Please input the positive number\n");
		scanf_s("%lf", &M[0]);
	}
	if (m[0] <= 0) {
		printf("Please input the positive number\n");
		scanf_s("%lf", &m[0]);
	}
	if (V[0] >= 0) {
		printf("The time of collision is %lf \n",&T);
		printf("Please input the negative number\n");
		scanf_s("%lf", &V[0]);
	}
	printf("--------\n");
	/*compute the time of collision*/
	int a = 1;
	printf("the initial V is %lf\n", V[0]);
	printf("the initial v is %lf\n", v[0]);
	printf("-------\n");
	while (1) {
		if (V[0] >= 0 && v[0] >= 0 && V[0] >= v[0]) {
			printf("The time of collision is %lf \n",T);
			printf("the final V is %lf\n", V[0]);
			printf("the final v is %lf\n", v[0]);
			printf("-------\n");
			break;
		}
		else if (V[0] <= 0 && v[0] >= 0) {
			++T;
			collision(M,m,V,v);
		}
		else if (V[0] <= 0 && v[0] < 0) {
			++T;
			v[1] = -v[0];
			v[0] = v[1];
			/*the value of speed*/
			/*
			printf("the V is %lf\n", V[a]);
			printf("the v is %lf\n", v[a]);
			printf("-------\n");
			*/
		}
		else if (V[0] >= 0 && v[0] < 0) {
			++T;
			v[1] = -v[0];
			v[0] = v[1];
			/*the value of speed*/
			/*
			printf("the V is %lf\n", V[a]);
			printf("the v is %lf\n", v[a]);
			printf("-------\n");
			*/
		}
		else if (V[0] >= 0 && v[0] > 0 && V[0] < v[0]) {
			++T;
			collision(M, m, V, v);
		}
	}
	system("pause");
	return 0;
}
double collision(double M[n], double m[n], double V[N], double v[N]) {
	v[1] = (2 * M[0])*V[0] / (M[0] + m[0]) + (m[0]-M[0])*v[0] / (M[0] + m[0]);
	V[1] = (M[0] - m[0]) * V[0] / (M[0] + m[0]) + (2 * m[0])*v[0] / (M[0] + m[0]);
	v[0] = v[1];
	V[0] = V[1];
	/*the value of speed*/
	/*
	printf("V is %lf\n", V[a]);
	printf("v is %lf\n", v[a]);
	printf("-------\n");
	*/
	return 0;
}