## Daftar Pustaka

1. https://math.libretexts.org/Bookshelves/Mathematical_Logic_and_Proof
2. https://byjus.com/maths/inverse-relation/#:~:text=The%20inverse%20of%20a%20relation,defined%20using%20the%20ordered%20pairs.
3. https://ggc-discrete-math.github.io/functions.html#_injective_surjective_bijective_and_inverse_functions

# Bab 3. Fungsi (backup)

Fungsi ....

## 3.1. Fungsi

Fungsi adalah relasi khusus. Fungsi
:::success
**DEFINISI 3.1**
Pandang $A$ dan $B$ sebagai dua himpunan tak kosong (*nonempty*).
Relasi biner $f$ dari $A$ ke $B$ merupakan suatu **fungsi** jika setiap elemen dari $A$ dihubungkan dengan tepat satu elemen dari $B$. Fungsi $f$ dari $A$ ke $B$ dinotasikan dengan

$\qquad f: A \mapsto B$

yang berarti $f$ **memetakan** $A$ ke $B$. Kita menuliskan $f(a) = b$ jika elemen $a$ dalam $A$ dipetakan oleh fungsi $f$ ke elemen $b$ dalam $B$.
:::

:::warning
**Catatan:** Fungsi sering disebut juga dengan **pemetaan** atau **transformasi**.
:::

Perlu diperhatikan bahwa sebuah relasi dari $A$ ke $B$ merupakan sebuah fungsi $f: A \mapsto B$ jika setiap elemen dalam $A$ dipasangkan ke **satu dan hanya satu elemen** dari $B$. Ini berarti, jika terdapat satu elemen dalam $A$ dipasangkan ke lebih dari satu elemen dari $B$, maka relasi tersebut bukanlah sebuah fungsi. Begitu juga, jika terdapat satu atau lebih elemen dalam $A$ yang tidak dipasangkan ke salah satu elemen dari $B$, maka relasi tersebut bukanlah sebuah fungsi.

:::info
***Contoh 3.1.1***
// ganti gambar

- Relasi $f_1$ adalah **fungsi** karena setiap elemen $A$ dikaitkan ke satu dan hanya satu elemen $B$.
- Relasi $f_2$ **bukan fungsi** karena elemen $a$ dalam $A$ dikaitkan ke dua elemen, $1$ dan $2$, dalam $B$.
- Relasi $f_3$ **bukan fungsi** karena terdapat elemen $b$ dalam $A$ yang tidak dikaitkan ke sebuah elemen dalam $B$.
- Relasi $f_4$ adalah **fungsi** karena setiap elemen $A$ dikaitkan ke satu dan hanya satu elemen $B$.
:::

Fungsi dapat dinyatakan dalam berbagai cara, salah satunya adalah dengan menuliskan aturan pemetaan seperti:

$\qquad f: \{1, 2, 3\} \mapsto \{a, b, c, d, e\}$ sedemikian sehingga $f(1) = b$, $f(2) = d$, dan $f(3) = e$.

Fungsi juga dapat dinyatakan dalam bentuk rumus, seperti berikut:

$\qquad f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ sedemikian sehingga $f(x) = x + 1$.

Dan sama seperti relasi, fungsi juga dapat disajikan dalam bentuk tabel dan diagram panah.

:::info
***Contoh 3.1.1***
Fungsi $f: \{a, b, c\} \mapsto \{1, 3, 5, 9\}$ didefinisikan berdasarkan aturan berikut:
$$
f(a)=1, \quad f(b) = 5, \quad f(c) = 9
$$

Aturan pengaitan dari fungsi $f$ dapat disajikan dalam tabel seperti berikut:

| $x$ | $a$ | $b$ | $c$ |
|:------:|:---:|:---:|:---:|
| $f(x)$ | $1$ | $5$ | $9$ |

Fungsi $f$ juga dapat disajikan dalam diagram panah seperti berikut:

:::

### 3.1.1. Domain, Kodomain, dan Range

:::success
**DEFINISI 3.2**
Jika $f$ adalah sebuah fungsi dari $A$ ke $B$, kita menyebut $A$ sebagai **domain** (daerah asal) dari $f$ dan $B$ sebagai **kodomain** (daerah kawan) dari $f$. Sedangkan, himpunan dari semua nilai pemetaan $f$ disebut sebagai **jelajah** (*range*).
Jika $f(a) = b$ maka $b$ disebut sebagai **bayangan** (*image*) dari $a$ dan $a$ disebut sebagai **pra-bayangan** (*pre-image*) dari $b$.
:::

Perhatikan bahwa jelajah (range) adalah himpunan bagian dari kodomain.

:::info
***Contoh x.x.xx***
Contoh menentukan domain, kodomain, dan range.
:::

Pandang bahwa untuk setiap anggota himpunan $A$ dikaitkan dengan satu dan hanya satu anggota himpunan $B$, koleksi dari pengaitan semacam itu disebut suatu fungsi dari $A$ ke $B$. Himpunan $A$ disebut ***domain*** (daerah asal) dan himpunan $B$ disebut ***kodomain*** (daerah jelajah) dari fungsi.

Fungsi biasanya diberikan nama dengan huruf kecil seperti $f$, $g$, dan sebagainya. Pada gambar di atas fungsi $f$ sebagai $f: A \mapsto B$. Jika $a \in A$, maka anggota himpunan $B$ yang merupakan kaitan dari $a$ dapat kita tulis sebagai $f(a)$ sehingga $f(a) = b$. Elemen $f(a)$ tersebut dinamakan nilai fungsi dari $a$, atau peta dari $a$. Himpunan semua peta disebut ***range*** (daerah nilai) dari fungsi $f$. Daerah nilai merupakan himpunan bagian dari kodomain.

Fungsi adalah sebuah aturan yang mengaitkan setiap elemen dari sebuah himpunan ke satu elemen unik dari himpunan lain. Secara formal fungsi didefinisikan oleh **DEFINISI 3.1**.

:::success
**DEFINISI 3.1**
Pandang $A$ dan $B$ sebagai dua himpunan tak kosong (*nonempty*). Sebuah **fungsi** $f$ dari $A$ ke $B$ adalah sebuah aturan yang mengaitkan setiap elemen dari $A$ ke satu elemen unik dari $B$. Fungsi $f$ dari $A$ ke $B$ dituliskan dengan notasi $f: A \mapsto B$. Dan, jika fungsi $f$ mengaitkan elemen $a \in A$ ke elemen $b \in B$, kita menuliskannya dengan $f(a) = b$.
:::

Fungsi sering disebut juga dengan pemetaan (***mapping***) atau transformasi. Jika $f: A \mapsto B$ dan $f(a) = b$ untuk $a \in A$ dan $b \in B$ maka kita menyebutnya $f$ **memetakan** $a$ ke $b$. Kita juga menyebut $b$ sebagai **bayangan** (***image***) dari $a$.

Fungsi umumnya disajikan dalam bentuk rumus (persamaan) matematika. Misalkan $f$ adalah fungsi $f: R \mapsto R$, $R$ adalah himpunan bilangan riil, yang memetakan setiap $x \in R$ ke kuadratnya. Maka, persamaan matematikanya adalah $f(x) = x^2$, yang dapat ditulis pula sebagai $y = x^2$. Kadang ditulis pula $y = f(x) = x^2$. Dimana $x$ disebut variabel bebas dan $y$ disebut variabel bergantung, karena nilai $y$ bergantung dari pengambilan nilai $x$.

Grafik dari fungsi dapat digambarkan seperti grafik dari relasi. Jika fungsi $f: R \mapsto R$, maka kita dapat menggambar sumbu mendatar sebagai sumbu $X$ dan sumbu tegak sebagai sumbu $Y$.

### 3.1.1. Fungsi dan Relasi

Fungsi adalah relasi yang khusus. Sebuah fungsi $f$ dari $A$ ke $B$ adalah sebuah relasi yang memenuhi dua kondisi berikut:
- Setiap elemen dalam himpunan $A$ harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan $f$.
- Setiap elemen dalam himpunan $A$ dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam $B$. Ini berarti $(a, b) \in f$ dan $(a, c) \in f$, maka $b=c$.

:::info
***Contoh 3.x.x***
Tentukan apakah relasi-relasi dari $A = \{1, 2, 3\}$ ke $B = \{a, b, c\}$ di bawah ini adalah sebuah fungsi:
- $f = \{(1, a), (2, b), (3, c)\}$
- $f = \{(1, u), (2, u), (3, w)\}$
- $f = \{(1, u), (2, v), (3, w)\}$
- $f = \{(1, u), (2, v), (3, w)\}$
- $f = \{(1, u), (2, v), (3, w)\}$

dan didefinisikan dengan . Tentukan apakah $f$ adalah sebuah fungsi

*Solusi:*

:::

## 3.2. Fungsi Satu-satu dan Fungsi Pada
Beberapa fungsi hanya mengaitkan sebuah nilai yang sama ke dua elemen domain berbeda. Fungsi seperti ini disebut sebagai fungsi **satu-satu**. Beberapa fungsi mempunyai range dan kodomain yang sama. Yaitu, setiap anggota dari kodomain adalah


### 3.2.1. Fungsi Satu-satu (*One-to-One*)

:::success
**DEFINISI 3.2**
Suatu fungsi $f$ dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ atau $f: A \mapsto B$ dikatakan **satu–satu** atau **injektif** jika setiap elemen yang berbeda dari $A$ mempunyai peta yang berbeda pula di $B$. Ini berarti jika $f(a)= f(b)$ maka $a = b$.
:::


Perhatikan bahwa dari definisi dapat disimpulkan bahwa fungsi $f$ adalah fungsi satu-satu jika dan hanya jika setiap anggota himpunan $A$ memiliki bayangan yang berbeda.

:::info
***Contoh 3.1.1***
Diketahui $A = \{1, 2, 3\}$,
- Fungsi $f$ adalah fungsi karena setiap anggota $A$...
:::

### 3.2.2. Fungsi Pada (*Onto*)
Misalkan $f$ adalah suatu fungsi dari himpunan $A$ ke dalam $B$. Maka daerah nilai $f(A)$ dari fungsi $f$ adalah subset $B$, yaitu $f(A) \subset B$. Suatu fungsi $f$ dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ dikatakan sebagai **fungsi pada** (**fungsi** ***onto***) jika dan hanya jika range $f$ sama dengan $B$ atau $f(A) = B$, yaitu jika setiap anggota $B$ muncul sebagai peta dari sekurang–kurangnya satu elemen $A$, maka kita katakan "$f$ adalah suatu fungsi dari $A$ pada $B$", atau "$f$ memetakan $A$ pada $B$", atau "$f$ adalah suatu fungsi pada". Dengan kata lain seluruh elemen $B$ merupakan jelajah dari $f$. Fungsi $f$ disebut fungsi pada himpunan $B$.

### 3.2.3. Fungsi Korespondensi Satu-satu

:::success
**DEFINISI 3.2**
Suatu fungsi $f$ adalah **korespondensi satu-satu** atau **bijeksi**, jika fungsi tersebut satu-satu dan pada.
:::

## 3.5. Fungsi Invers


:::success
**DEFINISI 3.x**
Misalkan $f$ adalah fungsi satu-satu dan fungsi onto dari himpunan $A$ ke himpunan $B$. **Fungsi invers** dari $f$ adalah fungsi yang memetakan elemen $b \in B$ ke elemen unik $a \in A$ sedemikian sehingga $f(a) = b$. Fungsi invers dari $f$ dinotasikan dengan $f^{-1}. Sehingga, $f^{-1}(b) = a$ ketika $f(a) = b$.
:::

Perhatikan bahwa syarat dari suatu fungsi mempunyai fungsi invers adalah fungsi tersebut haruslah fungsi satu-satu dan fungsi onto.

Jika suatu fungsi bukanlah fungsi satu-satu, maka terdapat sejumlah elemen $b$ dalam kodomain yang merupakan bayangan dari lebih dari satu elemen dalam domain. Dan karena syarat suatu fungsi adalah terdapat bayangan untuk semua elemen dalam domain, maka kita tidak dapat mendefinisikan fungsi invers dari $f$. // tambah gambar

Sedangkan jika f bukan fungsi onto, maka terdapat satu atau lebih elemen dalam kodomain yang bukan merupakan bayangan fungsi f.

Sedangkan jika suatu f

:::info
***Contoh 3.x.x***
Tentukan fungsi invers dari fungs $f(x) = x - 1$.

*Solusi:*
:::

## 3.3. Komposisi Fungsi

:::success
**DEFINISI 3.x***
Pandang $g$ sebagai fungsi dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ dan pandang $f$ sebagai fungsi dari himpunan $B$ ke himpunan $C$. **Komposisi** dari fungsi $f$ dan $g$, dinotasikan untuk semua $a \in A$ dengan $f \circ g$, didefinisikan dengan:

$$(f \circ g)(a) = f(g(a))$$
:::

Komposisi dari fungsi $g: A \mapsto B$ dan $f: B \mapsto C$ diilustrasikan pada **Gambar 3.x** berikut.


:::info
***Contoh 3.3.x***
Misalkan $g$ adalah fungsi dari himpunan $\{a, b, c\}$ ke himpunan itu juga sedemikian sehingga $g(a) = b$, $g(b) = c$, dan $g(c) = a$. Lalu, misalkan $f$ adalah fungsi dari himpunan $\{a, b, c\}$ ke himpunan $\{1, 2, 3\}$ sedemikian sehingga $f(a) = 3$, $f(b) = 2$, dan $f(c) = 1$.
- Apa komposisi dari $f$ dan $g$ ?
- Apa komposisi dari $g$ dan $f$ ?

*Solusi:*
- Komposisi $f$ dan $g$ didefinisikan dengan:
$(f \circ g)(a) = f(g(a)) = f(b) = 2$
$(f \circ g)(b) = f(g(b)) = f(c) = 1$
$(f \circ g)(c) = f(g(c)) = f(a) = 3$

Komposisi $f$ dan $g$ atau $f \circ g$ digambarkan sebagai berikut:

// tambah gambar
- Komposisi $g \circ f$ tidak didefinisikan, karena range dari $f$ bukanlah subset dari domain $g$.
:::

:::info
***Contoh 3.3.x***
Pandang $f$ dan $g$ sebagai fungsi dari himpunan bilangan bulat ke himpunan bilangan bulat yang didefinisikan dengan $f(x) = 2x + 3$ dan $g(x) = 3x + 2$.
- Cari komposisi dari $f$ dan $g$ !
- Cari juga komposisi dari $g$ dan $f$ !

*Solusi:*
- Komposisi dari $f$ dan $g$:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 2) = 2(3x + 2) + 3 = 6x + 7$.

- Komposisi dari $g$ dan $f$:

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 3) = 3(2x + 3) + 2 = 6x + 11$.

<br/>

:::warning
**Catatan**: Perhatikan bahwa meskipun $f \circ g$ dan $g \circ f$ dapat didefinisikan, $f \circ g$ dan $g \circ f$ tidaklah sama ( $f \circ g \neq g \circ f$ ). Dengan kata lain, hukum komutatif tidak berlaku pada komposisi fungsi.
:::