Bab 4. Proposisi

4.1. Proposisi

DEFINISI 4.1
Proposisi adalah kalimat pernyataan, yaitu kalimat yang menyatakan sebuah fakta yang bernilai benar (true) atau salah (false) tetapi tidak keduanya.

Contoh 4.1.1
Semua kalimat di bawah ini adalah proposisi.

1. DKI Jakarta adalah ibukota Indonesia.
2. Tokyo adalah ibukota Korea Selatan.
3. $1+1=2$.
4. $2+2=3$.

Proposisi 1 dan 3 bernilai benar, sedangkan proposisi 2 dan 4 bernilai salah.

Contoh 4.1.2
Perhatikan kalimat-kalimat berikut:

1. Jam berapa sekarang?
2. Baca ini secara teliti.
3. $x+1=2$.
4. $x+y=z$.

Kalimat 1 dan 2 bukanlah proposisi karena keduanya bukan kalimat pernyataan. Kalimat 3 dan 4 bukan proposisi karena tidak bernilai benar maupun salah. Perhatikan bawah kalimat 3 dan 4 dapat menjadi proposisi jika kita memberikan nilai-nilai ke variabel-variabelnya.

Kita menggunakan huruf kecil untuk menotasikan variabel yang mewakili sebuah proposisi. Huruf-huruf yang umum digunakan sebagai variabel proposisi antara lain

$p$,

$q$,

$r$,

$s$, dan sebagainya. Sebagai contoh,

$p$ : Jakarta adalah ibukota Indonesia.

$q$ : 3 + 5 = 8.

$r$ : 8 adalah bilangan genap.

Setiap proposisi memiliki nilai kebenaran. Nilai kebenaran ini bernilai true dan dinotasikan dengan T jika prososisi tersebut adalah benar, dan bernilai false dan dinotasikan dengan F jika proposisi tersebut adalah salah.

Mengkombinasikan Proposisi

Banyak pernyataan matematika dikonstruksi dengan mengkombinasi satu atau lebih proposisi. Proposisi-proposisi dapat dikombinasikan menggunakan operator-operator logika dan hasil kombinasi dari proposisi-proposisi ini disebut dengan proposisi majemuk. Sedangkan proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut dengan proposisi atomik.

Operator logika dasar yang dapat digunakan untuk mengkombinasikan proposisi antara lain operator negasi, operator konjungsi, operator disjungsi, dan operator disjungsi eksklusif.

A. Negasi

DEFINISI 4.2
Misal

$p$ adalah sebuah proposisi. Negasi dari

$p$ dinotasikan dengan:

$$\mathrm{\neg }p$$
adalah proposisi "Tidak benar bahwa

$p$".

$\mathrm{\neg }p$ mempunyai nilai kebenaran kebalikan dari nilai kebenaran

$p$.

Catatan: Beberapa buku menggunakan simbol

$\sim$ untuk menyatakan negasi.

Cara yang praktis untuk menampilkan hubungan nilai kebenaran antara proposisi majemuk dengan nilai kebenaran dari proposisi atomiknya adalah melalui tabel kebenaran. Tabel 4.1 berikut adalah tabel kebenaran untuk operasi negasi

$\mathrm{\neg }p$.

Tabel 4.1. Tabel Kebenaran Operasi Negasi.

Tabel kebenaran dari operasi negasi mempunyai baris untuk setiap dua kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi

$p$. Baris pertama menunjukkan jika nilai kebenaran dari

$p$ adalah T (benar), maka nilai kebenaran dari

$\mathrm{\neg }p$ adalah F (salah). Baris kedua menunjukkan jika nilai kebenaran dari

$p$ adalah F (salah), maka nilai kebenaran dari

$\mathrm{\neg }p$ adalah T (benar).

Contoh 4.1.3
Cari negasi dari proposisi

$$

$p$ : "Hari ini hujan."

Solusi:
Negasi dari

$p$ : "Hari ini hujan" adalah

$$

$\mathrm{\neg }p$ : "Tidak benar bahwa hari ini hujan."

atau lebih sederhananya dapat diekspresikan dengan

$$

$\mathrm{\neg }p$ : "Hari ini tidak hujan."

B. Konjungsi

DEFINISI 4.3
Misal

$p$ dan

$q$ adalah proposisi. Konjungsi dari

$p$ dan

$q$ yang dinotasikan dengan:

$$p\wedge q$$

adalah proposisi "

$p$ dan

$q$". Konjungsi

$p\wedge q$ bernilai benar jika kedua

$p$ dan

$q$ bernilai benar dan bernilai salah jika sebaliknya.

Tabel 4.2 di bawah adalah tabel kebenaran untuk

$p\wedge q$.

Tabel 4.2. Tabel Kebenaran Operasi Konjungsi.

Tabel kebenaran dari operasi konjungsi di atas mempunyai baris untuk setiap empat kemungkinan kombinasi dari nilai kebenaran dari

$p$ dan

$q$. Keempat baris ini terdiri dari kombinasi TT, TF, FT, dan FF, dimana nilai kebenaran pertama dari kombinasi tersebut adalah nilai kebenaran dari

$p$ dan nilai kebenaran kedua dari kombinasi tersebut adalah nilai kebenaran dari

$q$.

Contoh 4.1.4
Diketahui proposisi-proposisi berikut:

$p$ : "Hari ini hujan."

$q$ : "Murid-murid diliburkan dari sekolah."

Maka, konjungsi dari

$p$ dan

$q$ adalah

$p\wedge q$ : "Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah."

Untuk konjungsi ini bernilai benar, kedua proposisi harus bernilai benar. Konjungsi ini bernilai salah ketika satu atau kedua proposisi bernilai salah.

Perlu dicatat bahwa dalam bahasa sehari-hari, kata "tapi" terkadang digunakan menggantikan kata "dan". Sebagai contoh, pernyataan "Hari ini hujan tapi matahari bersinar" adalah cara lain untuk mengatakan "Hari ini hujan dan matahari bersinar. "

C. Disjungsi

DEFINISI 4.4
Misal

$p$ dan

$q$ adalah proposisi. Disjungsi dari

$p$ dan

$q$ yang dinotasikan dengan:

$$p\vee q$$

adalah proposisi "

$p$ atau

$q$". Disjungsi

$p\vee q$ bernilai salah jika kedua

$p$ dan

$q$ bernilai salah, dan bernilai benar jika kedua atau salah satu bernilai benar.

Tabel 4.3 di bawah adalah tabel kebenaran untuk operasi disjungsi

$p\vee q$.

Tabel 4.3. Tabel Kebenaran Operasi Disjungsi.

Perhatikan pada tabel kebenaran operasi disjungsi di atas, disjungsi

$p$ dan

$q$ bernilai salah hanya ketika kedua

$p$ dan

$q$ bernilai salah.

Contoh 4.1.5
Diketahui proposisi-proposisi berikut:

$p$ : "Hari ini hujan."

$q$ : "Murid-murid diliburkan dari sekolah."

Maka, disjungsi dari

$p$ dan

$q$ adalah

$p\vee q$ : "Hari ini hujan atau atau murid-murid diliburkan dari sekolah."

Disjungsi ini bernilai benar jika salah satu atau kedua proposisi bernilai benar yaitu ketika "Hari ini hujan" adalah benar, atau ketika "Murid-murid diliburkan dari sekolah" adalah benar, dan ketika keduanya benar. Disjungi ini bernilai salah jika kedua proposisi bernilai salah.

D. Disjungsi Eksklusif (Exclusive OR)

Kata "atau" dalam operasi logika (begitu juga dalam bahasa sehari-hari) dapat digunakan dalam dua cara. Cara pertama kata "atau" digunakan secara inklusif yaitu pernyataan "

$p$ atau

$q$" berarti "

$p$ atau

$q$ atau keduanya". Operasi disjungsi yang kita bahas sebelumnya adalah penggunaan kata "atau" secara inklusif. Pada penggunaan "atau" inklusif ini proposisi majemuk bernilai benar jika salah satu atau kedua proposisi atomik pembentuknya bernilai benar. Sebagai contoh, pernyataan

$$"Programmer yang dibutuhkan adalah yang menguasai Bahasa Python atau Bahasa Java"

diartikan programmer yang dibutuhkan adalah yang menguasai Bahasa Python dan Bahasa Java dan juga yang hanya menguasai salah satu dari kedua bahasa tersebut.

Cara kedua kata "atau" digunakan secara eksklusif. Ketika "atau" digunakan secara eksklusif, pernyataan "

$p$ atau

$q$ berarti "

$p$ atau

$q$ tetapi tidak keduanya". Pernyataan berikut adalah contoh penggunaan kata "atau" secara eksklusif

$$"Hadiah utama dari pertandingan ini adalah sebuah mobil atau uang tunai."

Pernyataan di atas berarti hadiah utama adalah salah satu dari mobil atau uang tunai tetapi tidak keduanya.

Operator logika yang digunakan untuk menyatakan "atau" secara eksklusif dinamakan operator disjungsi eksklusif (exclusive or).

DEFINISI 4.5
Misal

$p$ dan

$q$ adalah proposisi. Disjungsi Eksklusif (Exclusive OR) dari

$p$ dan

$q$ yang dinotasikan dengan:

$$p\oplus q$$

adalah proposisi yang bernilai benar jika salah satu dari

$p$ atau

$q$ bernilai benar dan bernilai salah jika sebaliknya.

Tabel 4.4 adalah tabel kebenaran untuk operasi disjungsi eksklusif

$p\oplus q$.

Tabel 4.4. Tabel Kebenaran Operasi Disjungsi Eksklusif.

Perhatikan pada Tabel 4.4, operasi disjungsi eksklusif bernilai benar hanya ketika salah satu proposisi bernilai benar.

Proposisi Majemuk

Proposisi yang kita bahas sebelumnya adalah proposisi majemuk yang hanya melibatkan paling banyak dua variabel proposisi dan sebuah operator logika. Kita dapat menggunakan operator-operator yang kita bahas pada bagian sebelumnya untuk membentuk proposisi mejemuk yang lebih kompleks dengan berapapun variabel proposisi.

Saat menuliskan proposisi majemuk dengan lebih dari satu operator, umumnya kita menggunakan tanda kurung untuk menyatakan urutan penerapan operasi logika. Sebagai contoh, kita dapat membentuk proposisi majemuk

$(p\vee q)\wedge \mathrm{\neg }(p\wedge q)$ yang merupakan konjungsi dari proposisi

$p\vee q$ dan proposisi

$\mathrm{\neg }(p\wedge q)$.

Tabel kebenaran juga dapat digunakan untuk menentukan nilai-nilai kebenaran dari proposisi majemuk dengan lebih dari satu operasi seperti

$(p\vee q)\wedge \mathrm{\neg }(p\wedge q)$, dimana diperlihatkan pada Contoh 4.1.6 berikut.

Contoh 4.1.6
Buat tabel kebenaran untuk proposisi

$(p\vee q)\wedge \mathrm{\neg }(p\wedge q)$.

Solusi:
Karena proposisi ini menggunakan dua variabel proposisi

$p$ dan

$q$ maka terdapat empat baris dalam tabel kebenarannya, masing-masing untuk pasangan nilai kebenaran TT, TF, FT, dan FF. Kita memerlukan kolom-kolom untuk nilai-nilai kebenaran

$p$,

$q$,

$p\vee q$,

$p\wedge q$,

$\mathrm{\neg }(p\wedge q)$, dan

$(p\vee q)\wedge \mathrm{\neg }(p\wedge q)$.
Tabel kebenaran dari proposisi

$(p\vee q)\wedge \mathrm{\neg }(p\wedge q)$:

Contoh 4.1.7 berikut memperlihatkan tabel kebenaran dari proposisi majemuk dengan tiga variabel proposisi.

Contoh 4.1.7
Buat tabel kebenaran dari proposisi majemuk

$(p\wedge q)\vee (\mathrm{\neg }q\wedge r)$.

Solusi:
Karena proposisi majemuk ini melibatkan tiga variabel proposisi

$p$,

$q$, dan

$r$, maka terdapat 8 kemungkinan kombinasi nilai kebenaran dari tiga variabel tersebut: TTT, TTF, TFT, TFF, FTT, FTF, FFT, dan FFF. Sehingga tabel kebenaran untuk proposisi majemuk ini membutuhkan 8 baris.
Tabel kebenaran dari proposisi majemuk ini:

Proposisi

$(p\wedge q)\vee (\mathrm{\neg }q\wedge r)$ adalah disjungsi dari

$(p\wedge q)$ dan

$(\mathrm{\neg }q\wedge r)$. Sehingga kita perlu untuk mencari nilai-nilai kebenaran dari

$p\wedge q$ dan

$\mathrm{\neg }q\wedge r$ terlebih dahulu. Kolom ketiga menunjukkan nilai kebenenaran untuk

$p\wedge q$ dan kolom kelima menunjukkan nilai kebenaran dari

$\mathrm{\neg }q\wedge r$. Kolom keempat, nilai kebenaran

$\mathrm{\neg }q$ diperlukan untuk membantu mencari nilai kebenaran dari

$\mathrm{\neg }q\wedge r$. Setelah mendapatkan nilai-nilai kebenaran dari

$p\wedge q$ dan

$\mathrm{\neg }q\wedge r$ kita dapat mencari nilai kebenaran dari

$(p\wedge q)\vee (\mathrm{\neg }q\wedge r)$ yang ditunjukkan pada kolom terakhir.

Tautologi, Kontradiksi, dan Kontigensi

Proposisi majemuk diklasifikasikan berdasarkan nilai kebenarannya menjadi tiga: tautologi, kontradiksi, dan kontigensi.

DEFINISI 4.6
Berikut adalah definisi tautologi, kontrakdiksi, dan kontigensi:

• Proposisi majemuk yang selalu bernilai benar (true), apapun nilai-nilai kebenaran dari variabel-variabel proposisi yang membentuknya disebut dengan tautologi.
• Proposisi majemuk yang selalu bernilai salah (false), apapun nilai-nilai kebenaran dari variabel-variabel proposisi yang membentuknya disebut dengan kontradiksi.
• Proposisi majemuk yang tidak tautologi maupun kontradiksi disebut dengan kontigensi.

Contoh 4.1.8
Pandang proposisi majemuk

$p\vee \mathrm{\neg }p$ dan

$p\wedge \mathrm{\neg }p$, maka:

• $p\vee \mathrm{\neg }p$ adalah tautologi. Ini dapat dilihat pada tabel kebenaran berikut:

• $p\wedge \mathrm{\neg }p$ adalah kontrakdiksi. Ini dapat dilihat pada tabel kebenaran berikut:

Contoh 4.1.9
Misalkan

$p$ dan

$q$ adalah proposisi. Tentukan apakah proposisi majemuk

$p\vee \mathrm{\neg }(p\wedge q)$ dan proposisi majemuk

$(p\wedge q)\wedge \mathrm{\neg }(p\vee q)$ adalah sebuh tautologi atau kontrakdiksi.

Solusi:
Tabel kebenaran dari

$p\vee \mathrm{\neg }(p\wedge q)$ :

Dari tabel kebenaran di atas

$p\vee \mathrm{\neg }(p\wedge q)$ bernilai benar untuk setiap kemungkinan nilai

$p$ dan

$q$, maka proposisi

$p\vee \mathrm{\neg }(p\wedge q)$ adalah sebuah tautologi.

Tabel kebenaran dari

$(p\wedge q)\wedge \mathrm{\neg }(p\vee q)$ :

Dari tabel kebenaran di atas

$(p\wedge q)\wedge \mathrm{\neg }(p\vee q)$ bernilai salah untuk setiap kemungkinan nilai

$p$ dan

$q$, maka proposisi

$(p\wedge q)\wedge \mathrm{\neg }(p\vee q)$ adalah sebuah kontradiksi.

4.2. Ekuivalen Secara Logika

Satu langkah penting yang digunakan dalam sebuah argumen matematika adalah penggantian dari sebuah proposisi ke proposisi lain dengan nilai kebenaran yang sama. Proposisi-proposisi yang mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai-nilai kebenaran proposisi atomiknya disebut ekuivalen secara logika.

DEFINISI 4.7
Dua proposisi majemuk

$p$ dan

$q$ disebut ekuivalen secara logika jika dan hanya jika kedua proposisi tersebut mempunyai nilai kebenaran yang identik untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi atomiknya.
Notasi

$p\equiv q$ menyatakan bahwa

$p$ dan

$q$ ekuivalen secara logika.

Catatan. Simbol

$\equiv$ bukanlah operator logika, dan

$p\equiv q$ bukanlah proposisi majemuk, melainkan sebuah pernyataan bahwa

$p$ dan

$q$ adalah ekuivalen secara logika.

Salah satu cara untuk menunjukkan dua proposisi ekuivalen secara logika adalah dengan menggunakan tabel kebenaran.

Contoh 4.2.1
Tunjukkan bahwa

$\mathrm{\neg }(p\vee q)$ dan

$\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q$ adalah ekuivalen secara logika.

Solusi:
Tabel kebenaran dari kedua proposisi majemuk ini adalah sebagai berikut:

Karena nilai kebenaran dari proposisi majemuk

$\mathrm{\neg }(p\vee q)$ dan

$\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q$ sama untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran

$p$ dan

$q$, maka kedua proposisi majemuk tersebut adalah ekuivalen secara logika atau

$\mathrm{\neg }(p\vee q)\equiv \mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q$.

Contoh 4.2.2
Tunjukkan bahwa

$p\oplus q$ ekuivalen secara logika dengan

$(p\vee q)\wedge \mathrm{\neg }(p\wedge q)$.

Solusi:
Tabel kebenaran dari dua proposisi majemuk ini sebagai berikut:

Karena nilai kebenaran

$p\oplus q$ dan

$(p\vee q)\wedge \mathrm{\neg }(p\wedge q)$ sama untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran

$p$ dan

$q$, maka

$p\oplus q\equiv (p\vee q)\wedge \mathrm{\neg }(p\wedge q)$.

Contoh 4.2.3
Tunjukkan bahwa

$p\vee (q\wedge r)$ dan

$(p\vee q)\wedge (p\vee r)$ adalah ekuivalen secara logika.

Solusi:
Berikut adalah tabel kebenaran dari proposisi

$p\vee (q\wedge r)$ dan proposisi

$(p\vee q)\wedge (p\vee r)$:

Dapat dilihat pada tabel di atas, nilai kebenaran dari

$p\vee (q\wedge r)$ dan

$(p\vee q)\wedge (p\vee r)$ sama untuk stiap kemungkinan nilai kebenaran

$p$,

$q$, dan

$r$. Sehingga,

$p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)$

Hukum-hukum Ekuivalensi Logika

Menggunakan tabel kebenaran untuk menunjukkan bahwa dua proposisi majemuk adalah ekuivalen secara logika dapat menjadi langkah yang melelahkan, terutama ketika proposisi-proposisi majemuk tersebut menggunakan lebih dari dua variabel proposisi.

Cara lain untuk menunjukkan ekuivalen secara logika dari dua proposisi majemuk adalah dengan aljabar proposisi. Dalam aljabar proposisi, kita menggantikan proposisi dengan proposisi yang ekuivalen secara logika berdasarkan hukum-hukum ekuivalensi logika sehingga kita dapat menunjukkan bahwa suatu proposisi ekuivalen secara logika dengan suatu proposisi lain. Tabel 4.5 di bawah mendaftar hukum-hukum ekuivalensi logika yang penting. Dalam ekuivalensi-ekuivalensi ini, T menandakan proposisi majemuk yang selalu benar dan F menandakan proposisi majemuk yang selalu salah.

Tabel 4.5. Tabel Hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh 4.2.4 dan Contoh 4.2.5 berikut mencontohkan pembuktian dua proposisi adalah ekuivalen secara logika menggunakan aljabar proposisi.

Contoh 4.2.4
Buktikan bahwa

$p\vee \mathrm{\neg }(p\vee q)\equiv p\vee \mathrm{\neg }q$.

Solusi:

$$\begin{array}{lll}p\vee \mathrm{\neg }(p\vee q)& \equiv p\vee (\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q)& \text{(dengan hukum De Morgan kedua)}\\ & \equiv (p\vee \mathrm{\neg }p)\wedge (p\vee \mathrm{\neg }q)& \text{(dengan hukum distributif pertama)}\\ & \equiv \mathbf{\text{T}}\wedge (p\vee \mathrm{\neg }q)& \text{(dengan hukum negasi pertama)}\\ & \equiv (p\vee \mathrm{\neg }q)\wedge \mathbf{\text{T}}& \text{(dengan hukum komutatif untuk konjungsi)}\\ & \equiv p\vee \mathrm{\neg }q& \text{(dengan hukum identitas untuk }\mathbf{\text{T}}\text{)}\end{array}$$

Contoh 4.2.5
Buktikan bahwa

$\mathrm{\neg }(p\vee (\mathrm{\neg }p\wedge q))$ dan

$\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q$ adalah ekuivalen secara logika.

Solusi:

$$\begin{array}{lll}\mathrm{\neg }(p\vee (\mathrm{\neg }p\wedge q))& \equiv \mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }p\wedge q)& \text{(dengan hukum De Morgan kedua)}\\ & \equiv \mathrm{\neg }p\wedge (\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }p)\vee \mathrm{\neg }q)& \text{(dengan hukum De Morgan pertama)}\\ & \equiv \mathrm{\neg }p\wedge (p\vee \mathrm{\neg }q)& \text{(dengan hukum negasi ganda)}\\ & \equiv (\mathrm{\neg }p\wedge p)\vee (\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q)& \text{(dengan hukum distribusi kedua)}\\ & \equiv \mathbf{\text{F}}\vee (\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q)& \text{(karena }\mathrm{\neg }p\wedge p\equiv \mathbf{\text{F}}\text{)}\\ & \equiv (\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q)\vee \mathbf{\text{F}}& \text{(dengan hukum komutatif untuk disjungsi)}\\ & \equiv \mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q& \text{(dengan hukum identitas untuk }\mathbf{\text{F}}\text{)}\end{array}$$

4.3 Implikasi (Kondisional)

Selain dihubungkan dengan operator-operator logika yang telah dibahas sebelumnya, dua proposisi dapat juga dihubungkan dengan bentuk "jika

$p$, maka

$q$", seperti pada contoh-contoh berikut:

• Jika saya lapar, maka saya akan makan.
• Jika Anda menang, maka Anda mendapatkan hadiah.
• Jika 4686 habis dibagi 6, maka 4686 habis dibagi 3.

Proposisi berbentuk "jika

$p$, maka

$q$" ini dinamakan dengan proposisi kondisional (proposisi bersyarat) atau implikasi.

DEFINISI 4.8
Misal

$p$ dan

$q$ adalah proposisi. Implikasi atau proposisi kondisional

$p\to q$ adalah proposisi yang dibaca "jika

$p$, maka

$q$". Kita menyebut:

• $p$ sebagai hipotesa (anteseden atau premis)
• $q$ sebagai kesimpulan (konsekuensi)

Implikasi

$p\to q$ bernilai salah jika

$p$ benar dan

$q$ salah, dan bernilai benar untuk kombinasi nilai

$p$ dan

$q$ lainnya.

Tabel 4.6 berikut adalah tabel kebenaran dari implikasi

$p\to q$.

Tabel 4.6. Tabel Kebenaran Implikasi.

Perhatikan pada tabel kebenaran di atas, pernyataan

$p\to q$ bernilai benar ketika

$p$ dan

$q$ keduanya bernilai benar dan ketika

$p$ bernilai salah (apapun nilai kebenaran dari

$q$).

Salah satu cara untuk memahami nilai kebenaran dari implikasi adalah dengan memandangnya sebagai sebuah janji atau kontrak. Sebagai contoh, misalkan dosen Anda memberikan pernyataan seperti berikut:

$$"Jika Anda mendapatkan nilai 100 pada ujian akhir, maka Anda mendapatkan nilai A."

Dalam keadaan apa Anda dapat mengatakan dosen Anda memberikan pernyataan yang benar atau tidak benar? Tentu saja jika Anda mendapatkan nilai 100 pada ujian akhir, dan pada akhirnya Anda mendapatkan nilai A, maka pernyataan dosen Anda adalah benar. Anda dapat mengatakan pernyataan dosen Anda tidak benar ketika Anda mendapatkan nilai 100 pada ujian akhir, tetapi Anda tidak mendapatkan nilai A. Bagaimana jika Anda tidak mendapatkan nilai 100 pada ujian akhir? Pada keadaan ini Anda bisa mendapatkan nilai A atau bisa tidak mendapatkan nilai A. Anda tidak bisa mengatakan pernyataan dosen Anda salah, karena pernyataan dosen Anda tidak mengatakan apa yang akan terjadi jika Anda tidak mendapatkan nilai 100.

Terdapat sejumlah cara untuk mengekspresikan implikasi

$p\to q$ dalam bahasa antara lain:

• "Jika
  $p$, maka
  $q$."
• "Jika
  $p$,
  $q$."
• "
  $p$ mengakibatkan
  $q$."
• "
  $q$ jika
  $p$."
• "
  $p$ hanya jika
  $q$."
• "syarat cukup untuk
  $q$ adalah
  $p$."
• "syarat perlu untuk
  $p$ adalah
  $q$."
• "
  $q$ bilamana
  $p$."

Perhatikan bahwa dalam implikasi yang dipentingkan adalah nilai kebenaran dari hipotesa dan kesimpulan, bukan hubungan sebab dan akibat diantara keduanya. Sebagai contoh, dua implikasi di bawah adalah valid meskipun secara bahasa tidak mempunyai makna:

• "Jika
  $1+1=2$, maka Bangkok ibukota Thailand."
• "Jika
  $n$ bilangan bulat maka hari ini hujan."

Contoh 4.3.1
Misal

$p$ adalah proposisi "Beni belajar matematika diskrit" dan

$q$ adalah proposisi "Beni akan mendapatkan pekerjaan bagus." Ekspresikan implikasi

$p\to q$.

Solusi:
Implikasi

$p\to q$ dapat diekspresikan dengan:
"Jika Beni belajar matematika diskrit, maka dia akan mendapatkan pekerjaan bagus"

Contoh 4.3.2
Proposisi-proposisi berikut adalah implikasi dalam berbagai bentuk:

$$(a) "Jika besok cerah, maka kami akan pergi ke pantai."

$$(b) "Jika sudah sembuh, saya akan masuk sekolah."

$$(c) "Banyak kendaraan yang parkir di pinggir jalan mengakibatkan jalanan macet."

$$(d) "Saya akan menggunakan motor ke kampus jika hari ini tidak hujan."

$$(e) "Budi bisa lulus kuliah hanya jika ia sudah lulus sidang."

$$(f) "Syarat cukup untuk sebuah bilangan disebut genap adalah habis dibagi empat."

$$(g) "Syarat perlu untuk mendapatkan SIM adalah berumur di atas 17 tahun."

$$(h) "Banjir terjadi bilamana banyak sampah yang menghambat saluran air."

Contoh 4.3.3
Misalkan

$$

$x$ : "Budi sudah berusia 17 tahun."

$$

$y$ : "Budi bisa mendapatkan SIM."

Nyatakan proposisi-proposisi berikut ke dalam notasi implikasi:

1. "Budi bisa mendapatkan SIM hanya jika ia sudah berusia 17 tahun."
2. "Syarat cukup untuk Budi bisa mendapatkan SIM adalah Budi sudah berusia 17 tahun."
3. "Syarat perlu untuk Budi bisa mendapatkan SIM adalah Budi sudah berusia 17 tahun."
4. "Jika Budi tidak bisa mendapatkan SIM maka Budi belum berusia 17 tahun."

Solusi:

1. $p\to q$ dapat diekspresikan dengan "
   $p$ hanya jika
   $q$". Maka, pernyataan 1 dapat dinotasikan dengan
   $y\to x$.
2. $p\to q$ dapat diekspresikan dengan "Syarat cukup untuk
   $q$ adalah
   $p$". Maka, pernyataan 2 dapat dinotasikan dengan
   $x\to y$.
3. $p\to q$ dapat diekspresikan dengan "Syarat perlu untuk
   $p$ adalah
   $q$". Maka, pernyataan 3 dapat dinotasikan dengan
   $y\to x$.
4. $\mathrm{\neg }y\to \mathrm{\neg }x$.

Contoh-contoh berikut menunjukkan ekuivalensi secara logika antara proposisi yang melibatkan implikasi dan proposisi lain.

Contoh 4.3.4
Tunjukkan bahwa

$p\to q$ ekuivalen secara logika dengan

$\mathrm{\neg }p\vee q$.

Solusi:
Tabel berikut adalah tabel kebenaran untuk proposisi

$p\to q$ dan

$\mathrm{\neg }p\vee q$.

Dapat dilihat pada tabel di atas

$p\to q$ dan

$\mathrm{\neg }p\vee q$ mempunyai nilai kebenaran yang identik untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran

$p$ dan

$q$. Ini berarti

$p\to q\equiv \mathrm{\neg }p\vee q$.

Contoh 4.3.5
Tentukan negasi dari

$p\to q$.

Solusi:

$$\begin{array}{lll}\mathrm{\neg }(p\to q)& \equiv \mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }p\vee q)& \text{(dari Contoh 4.3.4)}\\ & \equiv \mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }p)\wedge \mathrm{\neg }q& \text{(dengan hukum De Morgan kedua)}\\ & \equiv p\wedge \mathrm{\neg }q& \text{(dengan hukum negasi ganda)}\end{array}$$

Contoh 4.3.6
Tunjukkan bahwa

$(p\wedge q)\to (p\vee q)$ adalah sebuah tautologi.

Solusi:
Suatu proposisi disebut sebagai sebuah tautologi bilamana proposisi tersebut ekuivalen secara logika dengan T. Kita akan menggunakan aljabar proposisi untuk menunjukkan bahwa proposisi di atas adalah sebuah tautologi.

$$\begin{array}{lll}(p\wedge q)\to (p\vee q)& \equiv \mathrm{\neg }(p\wedge q)\vee (p\vee q)& \text{(dari Contoh 4.3.4)}\\ & \equiv (\mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q)\vee (p\vee q)& \text{(dengan hukum De Morgan pertama)}\\ & \equiv (\mathrm{\neg }p\vee p)\vee (\mathrm{\neg }q\vee q)& \text{(dengan hukum asosiatif dan hukum komutatif)}\\ & \equiv \mathbf{\text{T}}\vee \mathbf{\text{T}}& \text{(dengan hukum negasi)}\\ & \equiv \mathbf{\text{T}}& \text{(dengan hukum dominasi)}\end{array}$$

Konvers, Kontrapositif, dan Inverse dari Implikasi

Kita dapat membentuk proposisi bersyarat baru dari

$p\to q$. Terdapat tiga proposisi yang terkait implikasi yang sering digunakan sehingga ketiganya diberikan nama.

DEFINISI 4.9
Misalkan sebuah prososisi kondisional

$p\to q$.

1. Konvers dari
   $p\to q$ adalah
   $q\to p$.
2. Invers dari
   $p\to q$ adalah
   $\mathrm{\neg }p\to \mathrm{\neg }q$.
3. Kontraposisi dari
   $p\to q$ adalah
   $\mathrm{\neg }q\to \mathrm{\neg }p$.

Tabel 4.7 adalah tabel kebenaran yang menunjukkan hubungan antara nilai kebenaran dari implikasi dan nilai kebenaran dari konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi tersebut.

Tabel 4.7. Tabel Kebenaran Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisi.

Contoh 4.3.7
Tentukan konvers, kontraposisi, dan invers dari pernyataan:

$$ "Jika Budi mempunyai mobil, maka ia orang kaya."

Solusi:
Misal

$p$ : "Budi mempunyai mobil." dan

$q$ : "Budi orang kaya." Maka,

• Konvers dari pernyataan (
  $q\to p$ ): "Jika Budi orang kaya, maka ia mempunyai mobil."
• Kontrapositif dari pernyataan (
  $\mathrm{\neg }q\to \mathrm{\neg }p$ ): "Jika Budi bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil."
• Invers dari pernyataan (
  $\mathrm{\neg }p\to \mathrm{\neg }q$): "Jika Budi tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya."

Bikondisional/Bi-implikasi

Bentuk kombinasi dua proposisi lainnya yang terkait implikasi adalah bentuk "

$p$ jika dan hanya jika

$q$". Bentuk ini disebut proposisi bikondisional (bi-implikasi).

DEFINISI 4.10
Misal

$p$ dan

$q$ adalah proposisi. Proposisi bikondisional (bi-implikasi)

$p\leftrightarrow q$ adalah proposisi yang dibaca "

$p$ jika dan hanya jika

$q$". Proposisi bikondisional

$p\leftrightarrow q$ adalah benar ketika

$p$ dan

$q$ mempunyai nilai kebenaran yang sama, dan bernilai salah selain itu.

Pernyataan

$p\leftrightarrow q$ bernilai benar ketika

$p$ dan

$q$ keduanya bernilai benar atau ketika keduanya bernilai salah. Tabel 4.6 adalah tabel kebenaran dari bikondisional

$p\leftrightarrow q$.

Tabel 4.8. Tabel Kebenaran Bikondisional/Bi-implikasi.

Terdapat sejumlah cara untuk mengekspresikan bikondisional

$p\leftrightarrow q$, antara lain:

• $p$ jika dan hanya jika
  $q$.
• $p$ adalah syarat perlu dan cukup untuk
  $q$.
• Jika
  $p$ maka
  $q$, dan sebaliknya.

Perhatikan bahwa bikondisional

$p\leftrightarrow q$ ekuivalen secara logika dengan

$(p\to q)\wedge (q\to p)$, seperti ditunjukkan pada Tabel 4.9. Ini berarti pernyataan "

$p$ jika dan hanya jika

$q$" juga dapat diekspresikan dengan "Jika

$p$ maka

$q$ dan jika

$q$ maka

$p$".

Tabel 4.9. Tabel Kebenaran 𝒑↔𝒒 ≡(𝒑→𝒒)∧(𝒒→𝒑).

Contoh 4.3.8
Proposisi-proposisi majemuk berikut adalah bi-implikasi:

• $1+1=2$ jika dan hanya jika
  $2+2=4$.
• Syarat cukup dan syarat perlu agar hari ini hujan adalah kelembaban udara tinggi.
• Jika Anda orang kaya, maka Anda mempunyai banyak uang, dan sebaliknya.

Contoh 4.3.9
Misal

$p$ adalah pernyataan "Anda dapat naik ke kereta." dan

$q$ adalah pernyataan "Anda membeli tiket.". Maka

$p\leftrightarrow q$ adalah pernyataan:

$$ "Anda dapat naik ke kereta jika dan hanya jika Anda membeli tiket."

Pernyataan ini benar jika

$p$ dan

$q$ keduanya benar atau keduanya salah, yaitu, jika Anda membeli tiket dan Anda dapat naik ke kereta atau jika Anda tidak membeli tiket dan Anda tidak dapat naik ke kereta. Pernyataan ini salah ketika

$p$ dan

$q$ memiliki nilai kebenaran yang berbeda, yaitu, ketika Anda tidak membeli tiket tetapi Anda dapat naik kereta dan ketika Anda membeli tiket tetapi Anda tidak dapat naik kereta.

Definisi ekuivalen secara logika dapat juga dinyatakan dalam biimpilikasi (bikondisional).

DEFINISI 4.11
Proposisi majemuk

$p$ dan

$q$ disebut ekuivalen secara logika jika biimplikasi (bikondisional)

$p\leftrightarrow q$ adalah sebuah tautologi.

Contoh 4.3.10
Pada Contoh 4.2.1 kita telah menunjukkan bahwa

$\mathrm{\neg }(p\vee q)\equiv \mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q$. Kita juga dapat menunjukkan ekuivalensi ini dalam bentuk bikondisional, yaitu dengan menunjukkan

$\mathrm{\neg }(p\vee q)\leftrightarrow \mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q$ adalah sebuah tautologi. Tabel berikut memperlihatkan ini:

Pada kolom terakhir dari tabel di atas dapat dilihat bahwa bikondisional

$\mathrm{\neg }(p\vee q)\leftrightarrow \mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q$ bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai

$p$ dan

$q$ yang berarti bikondisional tersebut adalah sebuah tautologi. Sehingga dari Definisi 4.11, kita dapat menyatakan

$\mathrm{\neg }(p\vee q)\equiv \mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q$.

4.4. Inferensi (Penarikan Kesimpulan)

Pembuktian dalam matematika adalah proses pengkonstruksian argumen sahih (valid) yang menunjukkan kebenaran dari suatu pernyataan matematika. Argumen dalam matematika berarti rangkaian pernyataan-pernyataan (proposisi-proposisi) yang disebut premis dan diakhiri dengan sebuah pernyataan yang disebut konklusi (kesimpulan).

DEFINISI 4.12
Argumen adalah rangkaian proposisi-proposisi yang disebut sebagai premis (atau hipotesis) dan diikuti oleh sebuah proposisi yang disebut sebagai konklusi (atau kesimpulan).

Berikut adalah contoh sebuah argumen:

$$ "Jika Anda memiliki password, maka Anda dapat login ke internet."

$$ "Anda memiliki password."

$$ Jadi,

$$ "Anda dapat login ke internet."

Pernyataan "Jika Anda memiliki password, maka Anda dapat login ke internet." dan "Anda memiliki password." adalah premis-premis dari argumen dan pernyataan "Anda dapat login ke internet." adalah konklusi dari argumen.

Jika kita misalkan

$p$ adalah pernyataan "Anda memiliki password." dan

$q$ adalah pernyataan "Anda dapat login ke internet.", maka argumen di atas mempunyai bentuk:

$$\begin{array}{rl}& p\to q\\ & p\\ \therefore & q\end{array}$$

atau jika diuraikan:

$$\begin{array}{llrl}\text{Premis 1: }& \text{"Jika Anda memiliki password, maka Anda dapat login ke internet."}& & p\to q\\ \text{Premis 2: }& \text{"Anda memiliki password."}& & p\\ \text{Kesimpulan: }& \mathbf{\text{Jadi, }}\text{"Anda dapat login ke internet."}& \therefore & q\end{array}$$

Simbol

$\therefore$ adalah simbol yang menyatakan "Jadi".

Secara umum, argumen dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut

$\begin{array}{rl}& p_1\\ & p_2\\ & ⋮\\ & p_n\\ \therefore & q\end{array}$

dimana

$p_1,p_2,...,p_n$ adalah proposisi-proposisi yang disebut premis (atau hipotesis) dan

$q$ adalah proposisi yang disebut kesimpulan (atau konklusi).

Sebuah argumen disebut sahih (valid) apabila konklusi (pernyataan akhir dari argumen) mengikuti kebenaran dari premis-premisnya.

DEFINISI 4.13
Sebuah argumen disebut sahih (valid) jika dan hanya jika dalam semua kasus dimana semua premis dari argumen tersebut bernilai benar, maka kesimpulan dari argumen juga bernilai benar.

Dengan kata lain, sebuah argumen dengan premis

$p_1,p_2,...,p_n$ dan kesimpulan

$q$ disebut sahih jika

$(p_1\wedge p_2\wedge ...\wedge p_n)\to q$ selalu benar (yaitu sebuah tautologi).

Contoh 4.4.1
Tunjukkan bahwa argumen:

$$ "Jika Anda memiliki password, maka Anda dapat login ke internet."

$$ "Anda memiliki password."

$$ Jadi,

$$ "Anda dapat login ke internet."

adalah argumen yang sahih.

Solusi:
Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, argumen ini mempunyai bentuk:

$$\begin{array}{rl}& p\to q\\ & p\\ \therefore & q\end{array}$$

Kita dapat membuktikan kesahihan argumen di atas dengan dua cara.

Cara 1: Dengan membentuk tabel kebenaran yang menunjukkan nilai kebenaran dari

$p\to q$,

$p$, dan

$q$ dan melihat apakah ketika

$p\to q$ dan

$p$ bernilai benar,

$q$ juga bernilai benar.

Berikut adalah tabel kebenaran dari

$p\to q$,

$p$, dan

$q$ :

Dapat kita lihat pada baris 1 dari tabel di atas, ketika premis

$p\to q$ dan

$p$ keduanya bernilai benar, konklusi

$q$ juga bernilai benar. Sehingga, argumen di atas sahih.

Cara 2: Dengan membuktikan apakah

$(p\wedge (p\to q))\to q$ adalah sebuah tautologi.

Berikut adalah tabel kebenaran dari

$(p\wedge (p\to q))\to q$ :

Dapat dilihat pada tabel di atas

$(p\wedge (p\to q))\to q$ bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai

$p$ dan

$q$. Ini berarti

$(p\wedge (p\to q))\to q$ adalah sebuah tautologi. Maka, argumen di atas sahih.

Contoh 4.4.2
Tentukan apakah argumen

"Jika dunia sedang dilanda perang maka harga barang-barang pokok naik. Harga barang-barang pokok naik. Jadi, dunia sedang dilanda perang."

sahih atau tidak sahih.

Solusi:
Argumen di atas berbentuk

$$\begin{array}{rl}& p\to q\\ & q\\ \therefore & p\end{array}$$

Tabel kebenaran

$p\to q$,

$q$, dan

$p$ adalah sebagai berikut:

Terdapat dua baris dimana

$p\to q$ dan

$q$ keduanya bernilai benar, yaitu baris 1 dan baris 3. Pada baris 1,

$p$ bernilai benar, tetapi pada baris 3,

$p$ bernilai salah. Karena terdapat kondisi dimana premis-premis dari argumen (

$p\to q$ dan

$q$ ) keduanya bernilai benar tetapi konklusi dari argumen (

$p$ ) tidak bernilai benar, maka argumen di atas tidak sahih.

$$\begin{array}{rl}& p\to r\\ & q\to r\\ & r\\ \therefore & p\vee q\end{array}$$

Contoh 4.4.3
Tentukan apakah argumen

$$\begin{array}{rl}& p\to r\\ & q\to r\\ & r\\ \therefore & p\vee q\end{array}$$

adalah sahih atau tidak sahih.

Solusi:
Tabel kebenaran dari premis-premis dan konklusi dari bentuk argumen di atas:

Perhatikan pada baris 7. Disini ketiga premis bernilai benar, tetapi konklusi bernilai salah. Maka, argumen di atas tidak sahih.

Kaidah-kaidah Inferensi

Kita dapat selalu menggunakan tabel kebenaran untuk menunjukkan bahwa sebuah bentuk argumen adalah sahih seperti yang telah kita lakukan sebelumnya. Kita melakukan ini dengan menunjukkan bahwa kapanpun premis-premis bernilai benar, konklusi juga harus bernilai benar. Namun, cara seperti ini dapat menjadi pendekatan yang melelahkan. Sebagai contoh, ketika sebuah bentuk argumen melibatkan 10 variabel proposional berbeda, menggunakan tabel kebenaran untuk menunjukkan bahwa bentuk argumen tersebut valid membutuhkan

$2^{10}$ =

$1024$ baris. Untungnya terdapat cara lain selain dengan tabel kebenaran. Kita dapat menggunakan kaidah-kaidah inferensi sebagai balok bangun untuk mengkonstruksi bentuk argumen valid yang kompleks.

A. Modus Ponens

Modus Ponens adalah bahasa Latin yang berarti "metode penegasan". Dinamakan seperti itu karena kesimpulan dari aturan ini adalah penegasan. Modus ponens mempunyai bentuk argumen:

$\begin{array}{rl}& p\to q\\ & p\\ \therefore & q\end{array}$

Dasar dari modus ponens adalah tautologi

$((p\to q)\wedge p)\to q$

Contoh 4.4.4
Misalkan pernyataan bersyarat "Jika hari ini hujan, maka saya memerlukan payung" dan pernyataan "Hari ini hujan." adalah premis-premis dari sebuah argumen. Apa kesimpulan dari argumen tersebut untuk menjadi argumen yang sahih?

Solusi:
Anggap:

• $p$ adalah proposisi "Hari ini hujan"
• $q$ adalah proposisi "Saya memerlukan payung"

Dengan modus ponens kita mempunyai bentuk argumen:

$$\begin{array}{rl}& p\to q\\ & p\\ \therefore & q\end{array}$$

Sehingga dengan modus ponens kita dapat menarik kesimpulan pernyataan

$q$ yaitu "Saya memerlukan payung".

Secara lengkap bentuk argumen ini adalah

$$\begin{array}{ll}\text{Premis 1: }& \text{"Jika hari ini hujan, maka saya memerlukan payung."}\\ \text{Premis 2: }& \text{"Hari ini hujan."}\\ \text{Konklusi: }& \mathbf{\text{Jadi, }}\text{"Saya memerlukan payung."}\end{array}$$

B. Modus Tollens

Modus Tollens adalah bahasa Latin yang berarti "metode penyangkalan". Dinamakan seperti itu karena kesimpulan dari aturan ini adalah penyangkalan. Modus tollens mempunyai bentuk argumen:

$\begin{array}{rl}& p\to q\\ & \mathrm{\neg }q\\ \therefore & \mathrm{\neg }p\end{array}$

Dasar dari aturan modus tollens adalah tautologi

$((p\to q)\wedge \mathrm{\neg }q)\to \mathrm{\neg }p$

Contoh 4.4.5
Periksa kesahihan dari argumen berikut

$$\begin{array}{rl}& \text{"Jika 870232 habis dibagi 6, maka ia habis dibagi 3."}\\ & \text{"870232 tidak habis dibagi 3."}\\ \therefore & \text{"870232 tidak habis dibagi 6."}\end{array}$$

Solusi:
Argumen di atas mempunyai bentuk

$\begin{array}{rl}& p\to q\\ & \mathrm{\neg }q\\ \therefore & \mathrm{\neg }p\end{array}$

yang merupakan bentuk modus tollens, maka argumen di atas sahih.

C. Transitivitas (Silogisme Hipotesis)

Transitivitas atau dikenal juga sebagai silogisme hipotesis mempunyai bentuk argumen:

$\begin{array}{rl}& p\to q\\ & q\to r\\ \therefore & p\to r\end{array}$

Dasar dari aturan silogisme hipotesis adalah tautologi

$((p\to q)\wedge (q\to r))\to (p\to r)$

Contoh 4.4.6
Misalkan:

$p$ : "

$n$ habis dibagi

$18$"

$q$ : "

$n$ habis dibagi

$9$"

$r$ : "Jumlah digit dari

$n$ habis dibagi

$9$."

Maka dengan bentuk transitivitas kita dapat membangun argumen berikut:

$$\begin{array}{rl}& \text{"Jika }n\text{ habis dibagi }18\text{, maka }n\text{ habis dibagi }9\text{."}\\ & \text{"Jika }n\text{ habis dibagi }9\text{, maka jumlah digit dari }n\text{ habis dibagi }9\text{."}\\ \therefore & \mathbf{\text{Jadi, }}\text{"Jika }n\text{ habis dibagi }18\text{, maka jumlah digit dari }n\text{ habis dibagi }9\text{."}\end{array}$$

D. Eliminasi (Silogisme Disjungtif)

Eliminasi atau dikenal juga sebagai silogisme disjungtif mempunyai bentuk argumen:

$\begin{array}{rl}& p\vee q\\ & \mathrm{\neg }p\\ \therefore & q\end{array}$

yang didasarkan oleh tautologi

$((p\vee q)\wedge \mathrm{\neg }p)\to q$.

Bentuk lain dari eliminasi:

$\begin{array}{rl}& p\vee q\\ & \mathrm{\neg }q\\ \therefore & p\end{array}$

yang didasarkan oleh tautologi

$((p\vee q)\wedge \mathrm{\neg }q)\to p$.

Contoh 4.4.7
Misalkan terdapat premis-premis berikut:

Premis 1: "Suhu hari ini lebih dari 38 derajat atau polusi udara sangat tinggi."
Premis 2: "Suhu hari ini tidak lebih dari 38 derajat."

Kesimpulan apa yang dapat digunakan umum membentuk sebuah argumen yang sahih?

Solusi:
Misalkan:

$p$ : "Suhu hari ini lebih dari 38 derajat."

$q$ : "Polusi udara hari ini sangat tinggi"

Dengan aturan eliminasi kita dapat membentuk argumen:

$$\begin{array}{rl}& \text{"Suhu hari ini lebih dari 38 derajat atau polusi udara sangat tinggi."}\\ & \text{"Suhu hari ini tidak lebih dari 38 derajat."}\\ \therefore & \mathbf{\text{Jadi, }}\text{"Polusi udara hari ini sangat tinggi."}\end{array}$$

Sehingga kesimpulan yang bisa ditarik dari premis-premis di atas, dengan aturan eliminasi, adalah "Polusi udara hari ini sangat tinggi.".

E. Penambahan

Aturan inferensi penambahan mempunyai bentuk argumen berikut:

$\begin{array}{rl}& p\\ \therefore & p\vee q\end{array}$

yang berdasarkan tautologi

$p\to (p\vee q)$ dan bentuk argumen berikut:

$\begin{array}{rl}& q\\ \therefore & p\vee q\end{array}$

yang berdasarkan tautologi

$q\to (p\vee q)$.

Contoh 4.4.8
Argumen: "Hari ini hujan. Jadi, hari ini hujan atau berawan." adalah contoh dari penerapan aturan generalisasi.
Ini dapat ditunjukkan dengan memisalkan:

$p$ : "Hari ini hujan."

$q$ : "Hari ini berawan."

Maka berdasarkan aturan generalisasi:

$$\begin{array}{llrl}\text{Premis: }& \text{"Hari ini hujan."}& & p\\ \text{Konklusi: }& \mathbf{\text{Jadi, }}\text{"Hari ini hujan atau berawan"}& \therefore & p\vee q\end{array}$$

F. Simplifikasi

Aturan inferensi simplifikasi mempunyai bentuk argumen:

$\begin{array}{rl}& p\wedge q\\ \therefore & p\end{array}$

yang berdasarkan tautologi

$(p\wedge q)\to p$ dan bentuk argumen berikut:

$\begin{array}{rl}& p\wedge q\\ \therefore & q\end{array}$

yang berdasarkan tautologi

$(p\wedge q)\to q$.

Contoh 4.4.9
Argumen: "Hari ini hujan dan berawan. Jadi, hari ini hujan." adalah contoh dari penerapan aturan spesialisasi atau penyederhanaan.
Ini dapat ditunjukkan dengan memisalkan:

$p$ : "Hari ini hujan."

$q$ : "Hari ini berawan."

Maka berdasarkan aturan spesialisasi:

$$\begin{array}{llrl}\text{Premis: }& \text{"Hari ini hujan dan berawan."}& & p\wedge q\\ \text{Konklusi: }& \mathbf{\text{Jadi, }}\text{"Hari ini hujan."}& \therefore & p\end{array}$$

G. Konjungsi

Aturan inferensi konjungsi mempunyai bentuk argumen:

$\begin{array}{rl}& p\\ & q\\ \therefore & p\wedge q\end{array}$

yang berdasarkan tautologi

$((p)\wedge (q))\to (p\wedge q)$.

Contoh 4.4.10
Argumen: "Budi menguasai Bahasa Python. Budi menguasai Bahasa Java. Jadi, Budi menguasai Bahasa Python dan Bahasa Java." adalah contoh dari penerapan aturan konjungsi.
Ini dapat ditunjukkan dengan memisalkan:

$p$ : "Budi menguasai Bahasa Python."

$q$ : "Budi menguasai Bahasa Java."

Maka berdasarkan aturan konjungsi:

$$\begin{array}{llrl}\text{Premis 1: }& \text{"Budi menguasai Bahasa Python."}& & p\\ \text{Premis 2: }& \text{"Budi menguasai Bahasa Java."}& & q\\ \text{Konklusi: }& \mathbf{\text{Jadi, }}\text{"Budi menguasai Bahasa Python dan Java."}& \therefore & p\wedge q\end{array}$$

Tabel 4.9 berikut meringkas kaidah-kaidah inferensi yang umum beserta namanya.

Tabel 4.9. Kaidah-kaidah Inferensi.

Berikut adalah contoh menggunakan kaidah inferensi untuk pembuktian kesahihan sebuah argumen.

Contoh 4.4.11
Tunjukkan bahwa premis-premis "Sore ini tidak cerah dan lebih dingin dari kemarin", "Kita akan pergi berenang hanya jika sore ini cerah", "Jika kita tidak pergi berenang, maka kita akan bermain bola", dan "Jika kita bermain bola, maka kita akan pulang sebelum matahari terbenam" dapat mempunyai konklusi "Kita akan pulang sebelum matahari terbenam."

Solusi:
Misal:

$p$ : "Sore ini cerah"

$q$ : "Sore ini lebih dingin dari kemarin"

$r$ : "Kita akan pergi berenang"

$s$ : "Kita akan bermain bola"

$t$ : "Kita akan pulang sebelum matahari terbenam"

Maka premis-premis dari argumen atas:

$\mathrm{\neg }p\wedge q$

$r\to p$

$\mathrm{\neg }r\to s$

$s\to t$

dan konklusinya:

$t$

Berikut adalah langkah-langkah yang menunjukkan bahwa premis-premis dari argumen di atas menghasilkan konklusi yang diinginkan.

$$\begin{array}{ll}\mathbf{\text{Langkah}}& \mathbf{\text{Penalaran}}\\ \text{1. }\mathrm{\neg }p\wedge q& \text{Premis}\\ \text{2. }\mathrm{\neg }p& \text{Simplikasi menggunakan (1)}\\ \text{3. }r\to p& \text{Premis}\\ \text{4. }\mathrm{\neg }r& \text{Modus tollens menggunakan (2) dan (3)}\\ \text{5. }\mathrm{\neg }r\to s& \text{Premis}\\ \text{6. }s& \text{Modus ponens menggunakan dari (4) dan (5)}\\ \text{7. }s\to t& \text{Premis}\\ \text{8. }t& \text{Modus ponens menggunakan (6) dan (7)}\end{array}$$

Perhatikan bahwa kita bisa saja menggunakan tabel kebenaran untuk menunjukkan kapanpun keempat premis ini bernilai benar, konklusinya juga bernilai benar. Namun, karena kita bekerja dengan lima variabel proposisi,

$p$,

$q$,

$r$,

$s$, dan

$t$, tabel kebenaran yang dibutuhkan akan mempunyai 32 baris.

Fallacy

Fallacy (sesat pikir) adalah kesalahan penalaran yang menghasilkan sebuah argumen tidak sahih. Dua fallacy yang umum terjadi adalah fallacy penegasan konklusi dan fallacy penyangkalan hipotesa.

A. Fallacy Penegasan Konklusi (Fallacy of Affirming The Conclusion)

Fallacy penegasan konklusi terjadi ketika menganggap argumen dengan premis

$p\to q$ dan

$q$ dan konklusi

$q$ adalah argumen yang sahih. Ini tidak benar, karena

$((p\to q)\wedge q)\to p$ bukanlah sebuah tautologi.

$$\begin{array}{rl}& p\to q\\ & q\\ \therefore & p\end{array}$$

Contoh 4.4.12
Apakah argumen berikut sahih?

Jika Anda mengerjakan semua soal dalam buku ini, maka Anda akan menguasai Bahasa Ptyhon. Anda menguasai Bahasa Python.
Jadi, Anda mengerjakan semua soal dalam buku ini.

Solusi:
Misalkan,

$p$ adalah proposisi "Anda mengerjakan semua soal dalam buku ini." dan

$q$ adalah proposisi "Anda menguasai Bahasa Python.". Maka, argumen di atas mempunyai bentuk:

$$\begin{array}{rl}& p\to q\\ & q\\ \therefore & p\end{array}$$

Perhatikan tabel berikut:

Pada baris 3, satu kasus ketika premis-premis benar, yaitu

$p\to q$ dan

$p$ bernilai benar, konklusi

$p$ bernilai salah. Ini berarti argumen bentuk ini tidak sahih. Kesalahan inferensi ini disebut dengan fallacy penegasan konklusi.

B. Fallacy Penyangkalan Hipotesa (Fallacy of Denying the Hypothesis)

Fallacy penyangkalan hipotesa terjadi ketika menganggap argumen dengan premis

$p\to q$ dan

$\mathrm{\neg }p$ dan konklusi

$\mathrm{\neg }q$ adalah argumen yang sahih. Ini tidak benar karena,

$((p\to q)\wedge \mathrm{\neg }p)\to \mathrm{\neg }q$ bukanlah sebuah tautologi.

$$\begin{array}{rl}& p\to q\\ & \mathrm{\neg }p\\ \therefore & \mathrm{\neg }q\end{array}$$

Contoh 4.4.13
Apakah argumen berikut sahih?

Jika Anda mengerjakan semua soal dalam buku ini, maka Anda akan menguasai Bahasa Ptyhon. Anda tidak mengerjakan semua soal dalam buku ini.
Jadi, Anda tidak menguasai Bahasa Python.

Solusi:
Misalkan,

$p$ adalah proposisi "Anda mengerjakan semua soal dalam buku ini." dan

$q$ adalah proposisi "Anda menguasai Bahasa Python.". Maka, argumen di atas mempunyai bentuk:

$$\begin{array}{rl}& p\to q\\ & \mathrm{\neg }p\\ \therefore & \mathrm{\neg }q\end{array}$$

Perhatikan tabel berikut:

Pada baris 3, satu kasus ketika premis-premis benar, yaitu

$p\to q$ dan

$\mathrm{\neg }p$ bernilai benar, konklusi

$\mathrm{\neg }q$ bernilai salah. Ini berarti argumen bentuk ini tidak sahih. Kesalahan inferensi ini disebut dengan fallacy penyangkalan hipotesa.

Daftar Pustaka

1. Rinaldi Munir. 2016. Matematika Diskrit. Bandung, Indonesia. Informatika Bandung.
2. Kenneth H. Rosen. 2012. Discrete Mathematics and Its Applications (Seventh Edition). Amerika Serikat. McGraw-Hill.
3. Susanna S. Epp. 2018. Discrete Mathematics with Applications (Fifth Edition). Amerika Serikat. Cengage.
4. D. Suryadi H.S. 1993. Aljabar Logika & Himpunan. Indonesia. Penerbit Gunadarma.