---
# System prepended metadata

title: Bab 3. Fungsi

---

<style>
    img[src*='#center'] {
    display: block;
    margin: auto;
    }    
</style>


# Bab 3. Fungsi 
**Objektif**
- [ ] Fungsi
- [ ] Fungsi Satu-ke-Satu dan Fungsi Pada
- [ ] Fungsi Invers
- [ ] Komposisi Fungsi
- [ ] Beberapa Fungsi Khusus
----


## 3.1. Fungsi

:::success
**DEFINISI 3.1**
Pandang $A$ dan $B$ sebagai dua himpunan tak kosong (*non-empty*). Relasi biner $f$ dari $A$ ke $B$ merupakan sebuah **fungsi** jika setiap elemen dari $A$ dikaitkan ke tepat satu elemen dari $B$. Fungsi $f$ dari $A$ ke $B$ dinotasikan dengan

$\qquad f: A \mapsto B$

Kita menuliskan $f(a) = b$ jika elemen $a$ dalam $A$ dikaitkan oleh fungsi $f$ ke elemen $b$ dalam $B$.
:::

:::warning
**Catatan:** Fungsi sering disebut juga dengan **pemetaan** atau **transformasi**.
:::

Perlu diperhatikan bahwa sebuah relasi dari $A$ ke $B$ disebut sebuah fungsi $f: A \mapsto B$ jika setiap elemen dalam $A$ dipasangkan ke **satu dan hanya satu elemen** dari $B$. Ini berarti, jika terdapat satu elemen dalam $A$ dipasangkan ke lebih dari satu elemen dari $B$, maka relasi tersebut bukanlah sebuah fungsi. Begitu juga, jika terdapat satu atau lebih elemen dalam $A$ yang tidak dipasangkan ke salah satu elemen dari $B$, maka relasi tersebut bukanlah sebuah fungsi.

:::info
***Contoh 3.1.1***
Tentukan apakah relasi-relasi berikut adalah sebuah fungsi atau bukan.

![](https://i.imgur.com/w0JZh0c.png)

***Solusi:***
- Relasi $f_1$ adalah **fungsi** karena setiap elemen $A$ dikaitkan ke satu dan hanya satu elemen $B$.
- Relasi $f_2$ **bukan fungsi** karena elemen $a$ dalam $A$ dikaitkan ke dua elemen, $1$ dan $2$, dalam $B$. 
- Relasi $f_3$ **bukan fungsi** karena terdapat elemen $b$ dalam $A$ yang tidak dikaitkan ke sebuah elemen dalam $B$.
- Relasi $f_4$ adalah **fungsi** karena setiap elemen $A$ dikaitkan ke satu dan hanya satu elemen $B$.
:::



Fungsi dapat dinyatakan dalam berbagai cara, salah satunya adalah dengan menuliskan aturan pemetaan seperti contoh berikut:

$\qquad f: \{1, 2, 3\} \mapsto \{a, b, c, d, e\}$ sedemikian sehingga $f(1) = b$, $f(2) = d$, dan $f(3) = e$.

Fungsi juga dapat dinyatakan dalam bentuk rumus, seperti contoh berikut:

$\qquad f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ sedemikian sehingga $f(x) = x + 1$.

:::info
***Contoh 3.1.2***
Misalkan sebuahfungsi $f: \{a, b, c\} \mapsto \{1, 3, 5, 9\}$ didefinisikan berdasarkan aturan berikut:
$$
f(a)=1, \quad f(b) = 5, \quad f(c) = 9
$$

Maka, fungsi $f$ dapat disajikan dalam tabel seperti berikut:

|  $x$   | $a$ | $b$ | $c$ |
|:------:|:---:|:---:|:---:|
| $f(x)$ | $1$ | $5$ | $9$ |


Fungsi $f$ juga dapat disajikan dalam diagram panah seperti berikut:


![img](https://i.imgur.com/haBLFrk.png#center =350x)

:::

:::info
***Contoh 3.1.3***
Fungsi $f: \{1, 2, 3, 4, 5\} \mapsto \mathbb{N}$ mempunyai rumus:
$$
f(x) = x^2
$$

Sajikan $f$ dalam tabel!

***Solusi:***
 
Fungsi $f$ dapat disajikan dalam tabel seperti berikut:
|  $x$   | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|:------:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $f(x)$ | $1$ | $4$ | $9$ |$16$ |$25$ |
:::

### Domain, Kodomain, dan Range

:::success
**DEFINISI 3.2**
Jika $f$ adalah sebuah fungsi dari $A$ ke $B$, maka
- $A$ disebut sebagai sebagai **domain** (daerah asal) dari $f$;
- $B$ disebut sebagai **kodomain** (daerah kawan) dari $f$;
- Himpunan dari semua nilai pemetaan $f$ disebut sebagai **jelajah** (*range*);
- Jika $f(a) = b$ maka $b$ disebut sebagai **bayangan** (*image*) dari $a$ dan $a$ disebut sebagai **pra-bayangan** (*pre-image*) dari $b$.
:::

:::warning
**Catatan:** Perhatikan bahwa jelajah (range) adalah himpunan bagian dari kodomain.
:::
:::info
***Contoh 3.1.4***
Misalkan fungsi $f$ didefinisikan dalam diagram panah berikut:

<br>

![img](https://i.imgur.com/haBLFrk.png#center =350x)
<br>

Maka,
- Domain dari fungsi $f$ adalah $\{a, b, c\}$
- Kodomain dari fungsi $f$ adalah $\{1, 3, 5, 9\}$
- Jelajah (*range*) dari fungsi $f$ adalah $\{1, 5, 9\}$
- Bayangan (*image*) dari $a$ adalah 1, bayangan dari $b$ adalah 5, dan bayangan dari $c$ adalah 9.
:::

:::info
***Contoh 3.1.5***
Misalkan $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ didefinisikan oleh $f(x) = x^2$. Tentukan domain, kodomain, dan jelajah dari $f$.

***Solusi:***

- Domain dan kodomain dari $f$ adalah $\mathbb{R}$ yaitu himpunan bilangan riil.
- Jelajah (*range*) dari $f$ adalah himpunan bilangan riil tidak-negatif.

:::

### Grafik Fungsi
Fungsi dapat disajikan dalam grafik.


:::success
**DEFINISI 3.3**
Misalkan $f$ adalah sebuah fungsi dari himpunan $A$ ke himpunan $B$. **Grafik** dari fungsi $f$ adalah himpunan pasangan terurut $(x, y)$ dalam $A \times B$ dimana $y = f(x)$.
:::


:::info
***Contoh 3.1.6***
Gambar grafik fungsi $f(n) = 2n + 1$ dari himpunan bilangan bulat ke himpunan bilangan bulat.

*Solusi:*
Grafik dari $f$ adalah himpunan pasangan terurut dalam bentuk $(n, 2n+1)$, dimana $n$ adalah sebuah bilangan bulat. Grafik $f$ ditunjukkan oleh gambar berikut:
<br>
![img](https://i.imgur.com/EYurLOI.png#center =250x)
<br>
:::

:::info
***Contoh 3.1.7 Ganti dengan kontinyu!!!***
Gambar grafik fungsi $f(x) = x^2$ dari himpunan bilangan bulat ke himpunan bilangan bulat.

***Solusi:***
Grafik dari $f$ adalah himpunan pasangan terurut dalam bentuk $(x, x^2)$, dimana $x$ adalah sebuah bilangan bulat. Grafik $f$ ditunjukkan oleh gambar berikut:
<br>

![img](https://i.imgur.com/Fl4BApJ.png#center =350x)

<br>
:::


## 3.2. Fungsi Satu-ke-Satu dan Fungsi Pada
Beberapa fungsi tidak pernah menugaskan nilai yang sama ke dua elemen domain berbeda. Fungsi-fungsi  ini disebut sebagai fungsi **satu-ke-satu**. Beberapa fungsi mempunyai jelajah dan kodomain yang sama. Fungsi-fungsi ini disebut sebagai fungsi **pada**.


### Fungsi Satu-ke-Satu (*One-to-One*)

:::success
**DEFINISI 3.4**
Suatu fungsi $f$ dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ atau $f: A \mapsto B$ dikatakan **satu-ke-satu** (*one-to-one*) atau **injektif** jika setiap elemen yang berbeda dari $A$ mempunyai bayangan yang berbeda pula di $B$. Ini berarti $f(a)= f(b)$ jika dan hanya jika $a = b$.
:::

Perhatikan bahwa dari definisi dapat disimpulkan bahwa fungsi $f$ adalah fungsi satu-ke-satu jika tidak ada dua elemen himpunan $A$ yang memiliki bayangan yang sama.

:::info
***Contoh 3.2.1***

Fungsi $f$ yang didefinisikan oleh diagram panah berikut adalah fungsi satu-ke-satu.

![img](https://i.imgur.com/y0PviaW.png#center)

<br>

Perhatikan pada gambar di atas, semua elemen $B$ yang berada dalam range dari fungsi $f$, masing-masing adalah bayangan hanya dari satu elemen $A$.
:::

:::info
***Contoh 3.2.2***
Fungsi $f$ dan $g$ dari $A = \{1, 2, 3\}$ ke $B = \{a, b, c, d\}$ didefinisikan oleh diagram-diagram panah berikut:

![](https://i.imgur.com/w8K5qrh.png)
<br>
Tentukan apakah kedua fungsi tersebut adalah fungsi satu-ke-satu.

***Solusi:***
- Fungsi $f$ adalah **fungsi satu-ke-satu**, karena setiap elemen $A$ dikatikan ke tepat satu elemen $B$.
- Fungsi $g$ **bukan fungsi satu-ke-satu**, karena terdapat dua elemen $A$, yaitu 2 dan 3, yang dikatikan ke elemen $B$ yang sama, yaitu $b$. 
:::

:::info
***Contoh 3.2.2***
Misalkan $f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}$. Tentukan apakah $f(x) = x^2 + 1$ dan $f(x) = x - 1$ merupakan fungsi satu-ke-satu.

***Solusi:***
- $f(x) = x^2 + 1$ **bukan fungsi satu-ke-satu**, karena untuk dua $x$ yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda akan mempunyai nilai fungsi yang sama. Sebagai contoh $f(2) = (-2) = 5$ padahal $-2 \neq 2$. 
- $f(x) = x - 1$ adalah **fungsi satu-ke-satu**, karena untuk $a \neq b$, maka $a - 1 \neq b - 1$. Misalkan, untuk $x = 2$, maka $f(2) = 1$, sedangkan untuk $x = -2$, maka $f(-2) = -3$.
:::



### Fungsi Pada (*Onto*)

:::success
**DEFINISI 3.5**
Suatu fungsi $f$ dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ atau $f: A \mapsto B$ dikatakan **pada** (*onto*) atau **surjektif** jika setiap elemen $B$ merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen $A$.
:::

Dengan kata lain, fungsi $f: A \mapsto B$ adalah fungsi **pada** jika seluruh elemen $B$ merupakan jelajah dari $f$. 

:::info
***Contoh 3.2.3***
Fungsi $f$ yang didefinisikan oleh diagram panah berikut adalah fungsi pada.

![img](https://i.imgur.com/hzl06mt.png#center)

<br>

Perhatikan pada diagram panah di atas semua elemen dari $B$ adalah elemen dari jelajah fungsi $f$. Ini berarti kodomain $f$ = jelajah $f$.  
:::





:::info
***Contoh 3.2.4***
Relasi $f$ dan $g$ dari $A = \{1, 2, 3\}$ ke $B = \{u, v, w\}$ didefinisikan oleh gambar berikut:

![](https://i.imgur.com/CEWgB8J.png)

Tentukan apakah kedua relasi tersebut adalah fungsi pada.

***Solusi:***
- Fungsi $f$ **bukan fungsi pada**, karena untuk disebut fungsi pada, semua elemen $w$ tidak termasuk jelajah dari $f$.
- Fungsi $g$ adalah **fungsi pada**, karena semua anggota $B$ merupakan jelajah dari $g$. 

:::

:::info
***Contoh 3.2.5***
Misalkan $f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}$. Tentukan apakah $f(x) = x^2 + 1$ dan $f(x) = x - 1$ merupakan fungsi pada.

***Solusi:***
- $f(x) = x^2 + 1$ **bukan fungsi pada**, karena tidak semua bilangan bulat adalah jelajah dari $f$.
- $f(x) = x - 1$ adalah **fungsi pada**, karena untuk setiap bilangan bulat $y$, selalu ada nilai $x$ yang memenuhi, yaitu $y = x - 1$ akan dipenuhi untuk $x = y + 1$. 
:::


### Fungsi Korespondensi Satu-ke-Satu

:::success
**DEFINISI 3.6**
Suatu fungsi $f$ adalah **korespondensi satu-ke-satu** atau **bijekif**, jika fungsi tersebut satu-ke-satu dan pada.
:::

:::info
***Contoh 3.2.6***
Fungsi $f$ yang didefinisikan oleh diagram panah berikut adalah fungsi korespondensi satu-ke-satu (bijeksi).

![img](https://i.imgur.com/BZxPbo0.png#center =450x)

Fungsi $f$ adalah satu-ke-satu karena tidak ada dua nilai dalam domain yang mempunyai bayangan yang sama. Fungsi $f$ adalah pada karena keempat elemen dalam kodomain kesemuanya adalah bayangan-bayangan dari domain. Sehingga, fungsi $f$ adalah fungsi **bijektif**.
:::

:::info
***Contoh 3.2.7***
Fungsi $f(x) = x - 1$ merupakan fungsi korespondensi satu-ke-satu (bijektif), karena $f$ adalah fungsi satu-satu dan fungsi pada.
:::

:::info
***Contoh 3.2.8***
Perhatikan relasi-relasi berikut:

![](https://i.imgur.com/kAeIqWU.png)
<br>

Tentukan relasi-relasi mana yang merupakan fungsi satu-ke-satu, fungsi pada, atau fungsi korespondensi satu-ke-satu.

*Solusi:*
- $f_1$ adalah **fungsi satu-ke-satu** dan **bukan fungsi pada**.
- $f_2$ adalah **fungsi pada** dan **bukan fungsi satu-ke-satu**.
- $f_3$ adalah **bukan fungsi satu-ke-satu** dan **bukan fungsi pada**.
- $f_4$ **bukan fungsi**.
:::


## 3.3. Fungsi Invers

Invers berarti balikan. Fungsi invers dari suatu fungsi $f$ adalah fungsi yang pemetaannya merupakan kebalikan dari pemetaan fungsi $f$. 

:::success
**DEFINISI 3.7**
Misalkan $f$ adalah fungsi satu-ke-satu dan fungsi pada dari himpunan $A$ ke himpunan $B$. **Fungsi invers** dari $f$ adalah fungsi yang memetakan elemen $b \in B$ ke elemen unik $a \in A$ sedemikian sehingga $f(a) = b$. Fungsi invers dari $f$ dinotasikan dengan $f^{-1}$. Sehingga, $f^{-1}(b) = a$ ketika $f(a) = b$.
:::

:::warning
**Catatan:** Perhatikan bahwa syarat dari suatu fungsi mempunyai fungsi invers adalah fungsi tersebut haruslah fungsi bijektif (satu-ke-satu dan pada). 
:::


Gambar 3.3.1 berikut mengilustrasikan konsep dari sebuah fungsi invers.

![img](https://i.imgur.com/dzGOcfm.png#center)
<p style="text-align: center;">
    <b>Gambar 3.3.1. </b>Fungsi <span style="font-family: 'Noto Sans';"><b><em>f<sup>-1</sup></em></b></span> adalah Fungsi Invers dari Fungsi <span style="font-family: 'Noto Sans';"><b><em>f</em></b></span>.
</p>
<br>


Fungsi yang berkorespondensi satu-ke-satu sering disebut sebagai fungsi ***invertible*** (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi inversnya. Sedangkan fungsi dikatakan ***not invertible*** (tidak dapat dibalikan) jika fungsi tersebut bukannlah fungsi yang berkorespondensi satu-ke-satu, karena fungsi inversnya tidak ada.

:::info
***Contoh 3.3.1***
Relasi

$\qquad f = \{(1, u), (2, w), (3, v)\}$

dari $A = \{1, 2, 3\}$ ke $B = \{u, v, w\}$ adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, maka fungsi $f$ ***invertible*** (dapat dibalikkan). Fungsi invers dari fungsi $f$ adalah

$\qquad f^{-1} = \{(u, 1), (w, 2), (v, 3)\}$

Gambar berikut adalah diagram panah dari $f$ dan $f^{-1}$.
<br>
 
![img](https://i.imgur.com/3EFGzdB.png#center =x500)
<br>
:::

:::info
***Contoh 3.3.2***
Tentukan fungsi invers dari fungsi $f(x) = x - 1$.

***Solusi:***
Fungsi $f(x) = x - 1$ adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu (bijektif), maka terdapat fungsi balikannya. 
Misalkan $f(x) = y$. Maka $y = x - 1$, sehingga $x = y + 1$. Jadi, fungsi invers dari $f$ adalah $f^{-1}(y) = y + 1$.
:::

:::info
***Contoh 3.3.3***
Tentukan fungsi invers dari fungsi $f(x) = x^2 + 1$.

***Solusi:***
Dari Contoh 3.2.2 dan Contoh 3.2.4 kita sudah mengetahui bahwa $f(x) = x^2 + 1$ bukanlah fungsi korespondensi satu-ke-satu, sehingga fungsi ini tidak *invertible* (tidak mempunyai fungsi invers.)
:::

## 3.4. Komposisi Fungsi

:::success
**DEFINISI 3.8**
Pandang $g$ sebagai fungsi dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ dan pandang $f$ sebagai fungsi dari himpunan $B$ ke himpunan $C$. **Komposisi** dari fungsi $f$ dan $g$, dinotasikan untuk semua $a \in A$ dengan $f \circ g$, didefinisikan dengan:

$$(f \circ g)(a) = f(g(a))$$
:::

:::warning
**Catatan:** Perhatikan bahwa $f \circ g$ tidak dapat didefinisikan jika range dari $g$ bukan subset dari domain $g$.
:::
Komposisi dari fungsi $g: A \mapsto B$ dan $f: B \mapsto C$ diilustrasikan pada Gambar 3.4.1 berikut.


![img](https://i.imgur.com/0BYaGHg.png#center)
<p style="text-align: center;">
    <b>Gambar 3.4.1. </b>Kombinasi dari Fungsi <span style="font-family: 'Noto Sans';"><b><em>f</em></b></span> dan Fungsi <span style="font-family: 'Noto Sans';"><b><em>g</em></b></span>.
</p>
<br>


:::info
***Contoh 3.4.1***
Diberikan fungsi

$\qquad g = \{(1, u), (2, u), (3, v)\}$

yang memetakan $A = \{1, 2, 3\}$ ke $B = \{u, v, w\}$, dan fungsi

$\qquad f = \{(u, y), (v, x), (w, z)\}$

yang memetakan $B =\{u, v, w\}$ ke $C = \{x, y, z\}$. Cari fungsi komposisi $f \circ g$.

***Solusi:***
Fungsi komposisi dari $A$ ke $C$ adalah

$\qquad f \circ g = \{(1, y), (2, y), (3, x)\}$

:::

:::info
***Contoh 3.4.2***
Misalkan $g$ adalah fungsi dari himpunan $\{a, b, c\}$ ke himpunan itu juga sedemikian sehingga $g(a) = b$, $g(b) = c$, dan $g(c) = a$. Lalu, misalkan $f$ adalah fungsi dari himpunan  $\{a, b, c\}$ ke himpunan $\{1, 2, 3\}$ sedemikian sehingga $f(a) = 3$, $f(b) = 2$, dan $f(c) = 1$. 
- Apa komposisi dari $f$ dan $g$ ? 
- Apa komposisi dari $g$ dan $f$ ?

***Solusi:***
- Komposisi $f$ dan $g$ didefinisikan dengan: 

    $(f \circ g)(a) = f(g(a)) = f(b) = 2$
    $(f \circ g)(b) = f(g(b)) = f(c) = 1$
    $(f \circ g)(c) = f(g(c)) = f(a) = 3$
    
- Komposisi $g \circ f$ tidak dapat didefinisikan, karena range dari $f$ bukanlah subset dari domain $g$.
:::


:::info
***Contoh 3.4.3***
Pandang $f$ dan $g$ sebagai fungsi dari himpunan bilangan bulat ke himpunan bilangan bulat yang didefinisikan dengan $f(x) = 2x + 3$ dan $g(x) = 3x + 2$.
- Cari komposisi dari $f$ dan $g$ ! 
- Cari juga komposisi dari $g$ dan $f$ !

***Solusi:***
- Komposisi dari $f$ dan $g$:

    $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 2) = 2(3x + 2) + 3 = 6x + 7$.

- Komposisi dari $g$ dan $f$:
    
    $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 3) = 3(2x + 3) + 2 = 6x + 11$.

<br/>

:::warning
**Catatan:** Perhatikan bahwa meskipun $f \circ g$ dan $g \circ f$ dapat didefinisikan, $f \circ g$ dan $g \circ f$ tidaklah sama ( $f \circ g \neq g \circ f$ ). Dengan kata lain, hukum komutatif tidak berlaku pada komposisi fungsi.
:::


## 3.5. Beberapa Fungsi Khusus

### Fungsi *Floor* dan Fungsi *Ceiling*

Fungsi *floor* dan fungsi *ceiling* didefinisikan sebagai berikut:

- Fungsi *floor* dinotasikan $f(x) = \lfloor x \rfloor$ memberikan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $x$.
- Fungsi *ceiling* dinotasikan $f(x) = \lceil x \rceil$ memberikan nilai bilangan bulat terkecil yang lebih besar ata sama dengan $x$.

Dengan kata lain, fungsi *floor* membulatkan $x$ ke bawah, sedangkan fungsi *ceiling* membulatkan $x$ ke atas.

![](https://i.imgur.com/TgQIXMX.png)
<p style="text-align: center;">
    <b>Gambar 3.5.1. </b>Grafik dari (a) Fungsi <em>Floor</em> dan (b) Fungsi <em>Ceiling</em>.
</p>
<br>

:::info
***Contoh 3.5.1***
Beberapa contoh nilai *floor* dan *ceiling*:

| $\lfloor 3.5 \rfloor = 3$ | $\lfloor 0.5 \rfloor = 0$ | $\lfloor 4.8 \rfloor = 4$|$\lfloor -0.5 \rfloor = -1$| $\lfloor -3.5 \rfloor = -4$ |
|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|
| $\lceil 3.5 \rceil = 4$ | $\lceil 0.5 \rceil = 1$ | $\lceil 4.8 \rceil = 5$|$\lceil -0.5 \rceil = -0$| $\lceil -3.5 \rceil = -3$ |
:::

:::info
***Contoh 3.5.2***
Di dalam komputer, data dikodekan dalam untaian *byte*, dimana satu *byte* terdiri atas 8 bit. Jika panjang data adalah 125 bit, maka jumlah byte yang diperlukan untuk merepresentasikan data tersebut adalah

$\qquad \lceil{125 \over 8} \rceil$ = 16 byte.

Perhatikan bahwa 16 x 8 = 128 bit, sehingga untuk *byte* yang terakhir perlu ditambahkan 3 bit ekstra agar satu *byte* tetap 8 bit. (bit ekstra yang ditambahkan untuk menggenapi 8 bit disebut *padding bit*.)
:::

### Fungsi Modulo
Fungsi modulo adalah fungsi yang memetakan suatu nilai dengan nilai hasil operasi modulo dari nilai tersebut dengan sebuah bilangan bulat positif. Misalkan $a$ adalah sembarang bilangan bulat dan $m$ adalah bilangan bulat positif, maka operasi modulo dinotasikan dengan:

$\qquad a \ \text{mod} \ m$

memberikan sisa pembagian bilangan bulat dari operasi pembagian $a$ dengan $m$.



:::info
***Contoh 3.5.3***
Beberapa contoh operasi modulo:

$\qquad 25 \ \text{mod} \ 7 = 4$
$\qquad 15 \ \text{mod} \ 4 = 3$
$\qquad 3612 \ \text{mod} \ 45 = 12$
$\qquad 0 \ \text{mod} \ 5 = 0$
$\qquad -25 \ \text{mod} \ 7 = 3$   ( sebab $-25 = 7 . (-4) + 3$ )

:::

:::info
***Contoh 3.5.4***
Misal $A = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ dan didefinisikan fungsi $f: A \mapsto A$ sebagai

$\qquad f(a) = (a + 4)^2  \ (\text{mod} \ 5)$

Cari himpunan jelajah $f$.

***Solusi:***

$\qquad f(0) = 4^2 \ (\text{mod} \ 5) = 16 \ (\text{mod} \ 5) = 1$
$\qquad f(1) = 5^2 \ (\text{mod} \ 5) = 25 \ (\text{mod} \ 5) = 0$
$\qquad f(2) = 6^2 \ (\text{mod} \ 5) = 36 \ (\text{mod} \ 5) = 1$
$\qquad f(3) = 7^2 \ (\text{mod} \ 5) = 49 \ (\text{mod} \ 5) = 4$
$\qquad f(4) = 8^2 \ (\text{mod} \ 5) = 64 \ (\text{mod} \ 5) = 4$

Himpunan jelajah dari $f$ = $\{0, 1, 4\}$.

:::


### Fungsi Faktorial
Nilai faktorial dari suatu bilangan bulat positif $n$, yang dinotasikan oleh $n!$ adalah hasil kali semua bilangan bulat positif dari $1$ sampai dengan $n$, secara notasi matematika:

$$
n! = \begin{cases}
1, & n = 0 \\
1 \times 2 \times 3 \times ... \times (n-1) \times n, & n > 0
\end{cases}
$$


**Fungsi faktorial** $f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{Z}^{+}$ didefinisikan dengan $f(n) = n! = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times (n-1) \times n$ (dan $f(0) = 0! = 1)$.


:::info
***Contoh 3.5.5***
Beberapa nilai-nilai fungsi faktorial:
$f(1) = 1! = 1$.
$f(2) = 2! = 1 . 2 = 2$.
$f(6) = 6! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 = 720$.
:::

## Daftar Pustaka

1. Rinaldi Munir. 2016. Matematika Diskrit. Bandung, Indonesia. Informatika Bandung.
2. Kenneth H. Rosen. 2012. *Discrete Mathematics and Its Applications (Seventh Edition)*. Amerika Serikat. McGraw-Hill.
3. Susanna S. Epp. 2018. *Discrete Mathematics with Applications (Fifth Edition)*. Amerika Serikat. Cengage.
4. D. Suryadi H.S. 1993. Aljabar Logika & Himpunan. Indonesia. Penerbit Gunadarma.